《数学分析》教学改革探讨

施成湘

（重庆第二师范学院 数学与信息工程系，重庆 400067）

1 《数学分析》课程教学中存在问题及改革思路

《数学分析》作为数学专业与应用数学专业最重要的一门基础课，不仅是数学专业学生进校后首先学习的一门重要课程，而且在大学乃至研究生阶段很多的后续课程都可视为它的延伸，如：《概率统计》《微分方程》《数理方程》《计算方法》《实变函数》《复变函数》《泛函分析》等都以《数学分析》的知识为基础。《数学分析》的课程建设[1]不仅能提高本课程的教学质量，而且可以带动、促进数学专业的诸多课程的建设，毫不夸张地说它是数学专业教学改革的核心内容，是提高教学质量的关键，在培养具有良好素质的数学及其应用人才方面起着重要的作用。

教师不应仅仅是课程的阐述者和传递者，学生不应只是课程的接受者和吸收者，课程也不应成为一种指令、规定[2]。纵观《数学分析》课程在数学专业的重要地位，其内容已经相当定型、稳定，教学大纲与教材也是多年不变，这就使得教学模式、方法渐渐的趋于一种定势，不可避免地使得教学变得死板、机械和沉闷，有时只重视了知识的传授和教学任务的完成，而忽视了学生的参与、兴趣和感受[3]。这些刚从中学跨入大学校门的新生，受应试教育的影响，部分学生习惯了传统的传授知识为主的教学方法，适应了机械分类式题海战术训练，这些学生学习上依赖性强，自学能力欠缺，不适应大学的学习氛围，学习兴趣下降，积极性不高，学习效果差。要改变这种状况[4]，不仅要有效发挥教师的积极性、创造性，而且要充分调动学生的积极性、自主性、创造性，教师和学生共同走进课程，体验、感受、领悟和思考，进而成为课程的创造者和主体。

2 加强《高中数学》与《数学分析》内容上的衔接

《高中数学》新课改增删了很多内容，删除了三角函数的和差化积、积化和差、反三角函数、参数方程与极坐标等；增加了数列与函数的极限、导数［5］等。因此，为了与高中数学的内容很好地衔接起来，应在教学实践中相应地调整教学内容。

2.1 重复型内容

这部分内容与高中数学内容完全重复或基本一致，比如初等函数利用公式求导计算，在讲解该部分内容时，便可作为旧知识点处理，简要复习即可[6]。

2.2 缺失型内容

这部分知识点，将根据后续内容的要求，以新课的形式相应地加以讲解。比如在平面直角坐标系、极坐标系以及参数方程表达的平面图形面积这些内容时，极坐标的概念在高中数学中并没有涉及，这就需要类比平面直角坐标系的知识点，简要引入极坐标概念，使学生对极坐标有直观理解。

2.3 加强型内容

这部分内容讲授时是需要在重复的同时对其加以提炼或补充的。即在授课时，有必要先复习一下高中的知识点，再阐述提升部分的内容。比如极限的概念，可先简单回顾一下高中数学中引入极限的描述性定义，再以新课的形式讲解极限的“ε-N”定义，通过比较更进一步强化学生对极限概念的认识。

3 数列极限的教学过程

《数学分析》这门课程研究的对象是函数，而极限是其研究方法。从方法论来说，这是《数分分析》区别于《初等数学》的显著标志。《数学分析》中几乎所有的概念都离不开极限，极限理论是《数学分析》的基础理论。通过这章节的学习，旨在使学生逐步透彻理解数列极限、函数极限、无穷大与无穷小的概念，能够运用“ε-N”、“ε-X”、“ε-δ”的语言处理极限问题，能够正确叙述和证明性质：唯一性、有界性、保号性，能运用定义、四则运算、极限存在判别法、两个重要极限及Cauchy准则，判别极限的存在性，熟练地求出极限。下面笔者将多种教学方法融入到数列极限定义讲解的教学过程中，以期实现学生对极限问题的理解从感性认识上升到理性认识的层面。

3.1 故事导入式教学导入新课

在中学阶段，学生们已经学习了简单函数和数列的极限计算，教学要求主要是会计算极限，但是对在自变量的某种变化趋势下函数的变化趋势的研究形态并没有上升到量化的过程。为更形象地将极限的思想用数学语言的形式表达出来，让学生适应大学数学逻辑思维方式，引入了刘徽“割圆术”的故事来启发学生。通过动画演示正边形周长的计算，近似推导出圆周长的计算公式，从而使学生不仅能够立足已有的知识点，更能对函数极限的来源产生浓厚兴趣，有助于后续的学习。

3.2 启发式数列极限的定义

在学生对数列变化趋势了解的基础上，给出数列极限的文字语言描述的状态趋势——“随着数列项数的增加，数列通项无限逼近某一确定的数值A”，将数列收敛的状态通过数学语言逐步提炼，使其数量化、数值化，使得学生在逐步的演变过程中加深数列极限“ε-N”语言定义的形成，从而更好地区别于《数学分析》对概念问题的理解与中学数学学习的本质上不同的数学高度与理解层面。

3.3 讨论式教学探索ε和N关系

数列极限定义的“ε-N”语言的理解作为本章节一个难点和重点在学习，是学生进行后续学习的前提。通过引导学生将抽象的、主观的数列极限存在性的状态逐步量化成分析语言的“ε-N”定义后，学生应深刻地理解“ε-N”语言中ε和N二者之间相互影响的关系。在此，可自然地引导学生进行讨论：数列极限的ε和N二者之间有什么样的关系？ε越大，N怎么变？反之，ε越小，N又怎么变。在对比图像演示，思考过后，学生会得到一个明显的结果：ε愈大，N愈小。ε具有相对的固定性和绝对的任意性，这双重性使得数列极限的“ε-N”定义，从近似转化到精确，又能从精确转化到近似。

3.4 归纳式教学总结数列极限的定义

学生对数列极限的定义的理解已很清楚，教师可引导学生自己考虑数列发散的分析语言是否也可从收敛定义当中类似的得到。在对数列极限定义做进一步结构与书写的分析后，可由学生自行归纳总结数列发散的“ε-N”语言，并将其与收敛定义进行比较、对比，使学生对两者定义有一个深刻理解，从而可以更好地学习数列极限的定义。

3.5 悬念设疑式教学为下节课作好铺垫

教师在对整节课的内容进行总结的同时，再次提出数列收敛与发散，即极限存在与极限不存在分析语言准确的定义描述，并由前面所学习的内容进而提出疑问:要证明数列极限存在，该如何根据定义去证明存在性，这也为下节课的存在性证明的讲授做出铺垫，从而使学生能在课后有兴趣对下一节做预习准备。在整节课的讲授中，我们摒弃了原来讲授《数学分析》所常用的整堂课教师讲授、学生做笔记的传统教学方法，而融入了多种教学手段，凸显了《数学分析》知识的逻辑性，并不断督促学生进行自主学习，从而使学生带着兴趣学习，能够把数学前后知识进行融会贯通，同时锻炼了学生的逻辑思维能力和自主学习能力。

4 结语

《数学分析》课程是数学专业课程中的基础，如何使学生学好此门课程是每个数学老师必须思考的事情。在讲授《数学分析》课程时不仅要把基础内容讲授清楚，更要利用多种教学手段培养学生的逻辑思维能力和自主学习能力，这样学生不仅能学好《数学分析》，更能把《数学分析》所要传达的理念应用到后续的众多数学课中去。

[1]姚云飞.高师本科《数学分析》教学改革的研究与实践[J]，大学数学，2003，19(6):12-19.

[2]袁菲.探讨《数学分析》课程的教学改革和教学质量的提高[J].大学数学，2010，26(21):62-65.

[3]王浚岭.《数学分析》课程教学现状与教学改革[J].湖北教育学院学报，2006，23(2):88-91.

[4]匡奕群，高武军.《数学分析》课程的教学改革与实践[J].江西理工大学学报，2007，28(5):55-56.

[5]潘建辉.大学数学和新课标下高中数学的脱节问题与衔接研究[J].数学教育学报，2008(2):67-69.

[6]徐惠霞.《数学分析》课程教学改革的探讨[J].新余学院学报，2012(3):123-124.