“数值分析”课程改革实践与探讨

汪达成

(重庆交通大学理学院，重庆400074)

“数值分析”课程是计算数学专业方向的核心课程，是工科类硕士研究生的一门重要学位课，课程主要研究一些数学问题的数值解法，内容一般包括数值代数、数值逼近和微分方程数值解法等内容。随着社会经济的发展和对人才培养知识的需求，该课程的经典教学内容和传统的教学方法已经不能适应各个专业的培养要求，教学改革迫在眉睫。

一、研究生“数值分析”课程教学中存在的问题

(一)内容多、学时少的矛盾日益突出

“数值分析”课程的内容比较丰富，其中数值代数包括了幂法与反幂法、线性方程组与非线性方程数值解法等内容，数值逼近包含插值法、函数的最佳平方逼近以及数据拟合等内容，微分方程值解法包含常微分方程值解法与偏微分方程数值解法等内容。在学习课程之前学生必须掌握课程相关的高等数学内容，如微积分、线性代数、常微分方程和数学物理方程等。研究生阶段该课程在第一年开设，有36学时，只能完整讲授误差与范数、非线性方程数值法、线性方程组数值解法、插值法、曲线拟合等内容。我校是一所工科院校，微分方程数值解法很重要，由于大部分学生只在本科高等数学中学了很少常微分方程基本概念与解析解法，没有学习数学物理方程。加上课程学时少，所以微分方程数值解法等内容根本没时间系统讲解。

(二)实践教学环节缺乏

“数值分析”课程的显著特点是所有算法都可以通过计算机实现，即学习的所有算法最终都可以通过编程或调用数学软件在计算机上实现。学生通过系统的理论学习、编程和上机执行，才能真正理解和掌握算法，切实体会到它的实用性。然而，到目前为止，我校研究生“数值分析”课程没有安排实践环节，长期都是书本学习，放松了对学生动手能力的训练和培养。笔者和课程组感觉到由于实践教学环节没有跟上，学生表面上理解了教材中的数值计算方法，遇到实际问题还是不能独立解决，更不能灵活应用和发挥，没有达到学以致用的目的。

(三)授课教学过于数学化

我校是交通类院校，在课程设置上对数学的要求较高。长期的教学中，任课教师为了尽量保证课程的系统性、逻辑的严谨性和推导证明的准确性，算法推导和公式证明一丝不苟，但同时出现的问题是课程讲授过于数学化，使工科学生难以接受。例如在讲授代数插值误差分析的证明时，很巧妙地构造函数，通过该函数零点和可微性，反复用到微积中值定理中的Rool定理，得到截断误差数学表达式。整个证明过程特别严谨，数学味特浓，当然学生学习和理解证明过程就比较困难。

(四)板书与多媒体课件关系处理不当

“数值分析”课程教学中既有公式的推导，又有大量的计算过程。在黑板上进行迭代计算无疑是纸上谈兵，况且授课时间十分紧张，不可能大量板书。过分依赖多媒体课件，视觉效果固然好，信息量大，但削弱了严密的数学推导和计算过程，使得学生只记住了某些结果，忽略了过程。为了提高该课程教学质量，哪些章节以多媒体为主、板书为辅，哪些章节以板书为主、多媒体作辅助教学，课程组教师虽然担任该课程多年的教学，而且进行了教改立项研究，但至今都没有很好地解决这个问题。

二、“数值分析”课程教学改革实践与探讨

我校有几位教授和副教授一直担任该课程教学，近几年也有年轻的博士、讲师加入课程组。在十几年该课程教学实践中，大家反复探讨、研究和实践，达成如下共识:教学内容要具有针对性，即针对我校理工科专业的实际背景组织教学内容;讲授知识要有先进性，能够及时反映本课程所在领域的最新研究成果;教学重点应立足应用性，在不影响课程完整性和逻辑性的条件下，加强应用方面事例和应用性知识的内容，以达到学以致用的目的;在教学过程中注重讲课的风趣性。

(一)根据学校专业特点，合理制定课程教学大纲

“数值分析”课时少、研究内容多，既有理论推导又有算法实践，对工科学生特别是交通类专业的研究生而言，他们的学习重点应放在各种数值计算方法的应用上，至于这些算法的由来可以不作为教学重点，教学内容根据培养计划所给学时和专业需要合理取舍。基于此种思路，通过调研，我们对课程教学大纲作了全面的调整，在教学中把概念讲清楚，理论推导“适可而止”，通过实例强调这些计算方法的应用。我们选择讲授误差、非线性方程数值解法、线性方程组数值解法、插值法和曲线拟合，放弃了长期讲授的矩阵按模最大特征值的幂法、函数最佳平方逼近、数值微分与数值积分等内容。当然我们希望在培养方案修订时能增加课时，讲授对交通类专业非常有用的微分方程数值解法等内容。

(二)讲授中注重能力培养

学生要学好“数值分析”关键在老师。教师在讲授该课程时首先要介绍各类数学问题的内涵和实际背景，让学生明确该类数学问题的研究意义，激发学生的学习兴趣。例如在给土木工程类专业研究生讲授非线性方程的数值解法时，应结合桥梁设计进行静力分析;在讲授经典算法时要讲清楚算法的由来，例如讲清楚解追赶法的命名。我们在注意课程基本知识、基本理论、基本方法的同时，强调通过分析和建立数学模型，培养学生分析问题和解决问题的能力。例如解决力学问题时通过分析和数学建模，建立有限元方程组;在讲解三次样条插值时除了证明三弯矩法，还举一反三证明了三转角法。对一些经典问题采用新观点、新方法处理，课程教学中适当介绍当今有关数值计算方法的最新理论及其应用。例如在学习插值与逼近时，结合高速公路设计，将样条插值方法和曲线拟合应用于设计中。在授课过程中，要求学生思考所学算法在自己所学专业如何应用。

(三)增强实践环节

“数值分析”是一门实践性和应用性较强的课程，如果教师只讲一些算法，不要求学生运用算法解决实际问题，学生的实践能力就得不到提高。目前学校还没有配置实验课或课程设计，学生学习比较空洞，学习积极性不高。为了学以致用，我们根据专业方向把学生分组，通过布置课外作业、学生小组讨论、课外上机等引导学生的学习兴趣。在应用相关软件(比如MATLAB)或编程中理解或体现算法的基本思想，努力激发学生的创造性。当然，我们也希望在培养方案修订时增加课程实践环节，加强对学生动手能力的培养，提高学习效果。

实践证明，经过数值分析课程教学改革的研究和实践，课程学习效果在不断提高，学生在学习中逐渐构建属于自己的知识体系，并能运用数学语言准确、清晰地描述和分析客观世界以及自己的思维过程，逐渐具有解决实际问题和科学创新的能力。由于课程改革是一个长期的、系统的过程，任课教师要更加努力探索，积极调动广大学生学习的积极性，真正达到培养学生能力的目的。

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