可交换幂等矩阵的性质及推广

袁 力 （郧阳师范高等专科学校数学与财经系，湖北 十堰442000）王建华 （武汉理工大学理学院数学系，湖北 武汉430070）

幂等矩阵及其线性组合的相关性质在可对角化矩阵的谱分解和概率统计中都有着重要的应用，现已成为矩阵理论研究中一个活跃的分支。1999年，Jurgen GroB给出了一个复矩阵Hermitian部分的幂等性［1］；2002年，Baksalary J K较为系统的讨论了2个幂等矩阵线性组合幂等性的问题［2－3］；2004年，Ozdemir H，Ozban A Y研究了可交换幂等矩阵线性组合幂等的条件［4］；2008年Benite J，Thome N进一步给出了当A是幂等矩阵，B是t－幂等矩阵时，A与B不可交换以及可交换2种情况下，它们线性组合幂等性的刻画［5－6］。下面，笔者将在可交换的基础上对幂等矩阵的乘积、和、差，及其值域与核的性质展开研究，并对文献 ［3－4］的结论做了推广。

1 基本概念

定义1 设矩阵A∈Pn×n，满足A2＝A，则称A为幂等矩阵。

定义2 设矩阵A、B∈Pn×n且满足AB＝BA，则称矩阵A与B可交换。

引理1［7－9］设A ∈Pn×n，且A2＝A，则：

（1）存在可逆矩阵Q∈Pn×n，使得Q－1AQ ＝diag［Ir·O］，其中r＝rank（A）；

（2）I－A 仍为幂等矩阵，并且A（I－A）＝ （I－A）A＝O；

（3）A的核等于I－A的列空间，I－A的核等于A的列空间。

引理2［10］设A∈L（V）（A∈L（V）为定义在线性空间V上的所有线性变换构成的集合），且A2＝A，则V ＝Im（A）⊕Ker（A）。

2 主要结论

定理1 设A，B∈Pn×n满足A2＝A，B2＝B，且AB＝BA，则AB为幂等矩阵，并且：

证明 由于（AB）2＝ABAB＝A2B2＝AB，所以AB为幂等矩阵。又因Im（AB）＝Im（BA），所以Im（AB）⊂Im（A）∩Im（B）。对于任意α∈Im（A）∩Im（B），则α＝Aα＝Bα＝ABα，即α∈Im（AB），所以Im（A）∩Im（B）⊂Im（AB），故可知Im（AB）＝Im（A）∩Im（B）。又因Ker（A）⊂Ker（BA），Ker（B）⊂Ker（AB），则 Ker（A）＋Ker（B）⊂ Ker（AB）。同时，对于任意β∈Ker（AB），则有B（β）∈Ker（A），而β＝Bβ＋（I－B）β，则有β∈ Ker（A）＋Ker（B），即 Ker（AB）⊂ Ker（A）＋Ker（B），所以可得 Ker（AB）＝ Ker（A）＋Ker（B）。

证明 将B的展开式代入验证，充分性即可得证。下面证明必要性。由A2＝A及引理1的结论（1）可知，存在可逆矩阵P1∈Pn×n，使得A＝P1（Ir，O）P－11，其中r＝rank（A）。

由定理2可以推得文献［3－4］的主要结论，并且进一步可以得到下面2个推论，同时应用定理1的方法还可推得这些幂等矩阵值域与核之间的关系。

推论1 设A，B∈Pn×n，满足A2＝A，B2＝B，则A＋B为幂等矩阵的充分必要条件为AB＝BA＝0，并且：

证明 （充分性） 因（A＋B）2＝A2＋AB＋BA＋B2＝A＋B，即A＋B为幂等矩阵。又因Im（A＋B）⊂Im（A）＋Im（B），则由引理1的结论（1），可知：

所以Im（A＋B）＝Im（A）⊕Im（B）。又易知Ker（A）∩Ker（B）⊂Ker（A＋B），而对于任意的α∈Ker（A＋B），有Aα＝－Bα，从而Aα＝－ABα＝0，即α∈Ker（A）。同时，对于任意ξ∈Ker（B），也即ξ∈Ker（A）∩Ker（B），则Ker（A＋B）⊂Ker（A）∩ Ker（B），所以 Ker（A＋B）＝Ker（A）∩Ker（B）。

（必要性） 因A＋B为幂等矩阵，则由（A＋B）2＝A＋B，可知AB＋BA＝0。在等式两边分别左乘以A，右乘以A，可得：

由A2＝A，可知上述等式即为AB＋ABA＝0，ABA＋BA＝0，所以AB＝BA＝0。

推论2 设A，B∈Pn×n，满足A2＝A，B2＝B，则A－B为幂等矩阵的充分必要条件为AB＝BA＝B，并且：

证明 （充分性） 因（A－B）2＝A2－AB－BA＋B2＝A＋B－2B＝A－B，即A－B为幂等矩阵。

（必要性） 由引理1的结论（2），可知，若A－B为幂等矩阵，则I－（A－B）＝（I－A）＋B仍为幂等矩阵，并且有 （I－A）B＝B（I－A）＝O，即AB＝BA＝B；由引理1的结论（3），可知：

定理3 设A，B ∈Pn×n，且A2＝A，则Im（A），Ker（A）是B 的不变子空间的充分必要条件是AB＝BA。

证明 充分性运用不变子空间的定义可直接得证，下证必要性。因Im（A），Ker（A）都是B的不变子空间，则对任意α∈V，因A2＝A，则由引理2可知V＝Im（A）⊕Ker（A），所以α可表示为α＝α1＋α2，其中α1∈Im（A），α2∈Ker（A）故存在β∈V，使α1＝A（β）并且A（α2）＝0。

因为Im（A）是B的不变子空间，故B（Aβ）∈Im（A），即存在α3∈V，使得B（Aβ）＝A（α3），则：

所以对于任意α∈V，有ABα＝BAα，即AB＝BA。

［1］Jurgen Grob.Idempotency of the Hermitian part of a complex matrix ［J］.Linear Algebra and its Applcations，1999，289：135－139.

［2］Baksalary J K，Baksalary O M.IdemPoteney of linear combinations of two Idempotent matriees ［J］.Linear Algebra Apply，2000，321：3－7.

［3］Baksalary J K，Baksalary O M，Styan G P H.Idempotency of linear combinations of an idempotent matrix and a tripotent matrix ［J］.Linear Algebra Apply，2002，354：21－34.

［4］Ozdemir H，OZban A Y.On idempotency of linear combinations of idempotent matrices［J］.Appl Math Comput，2004，159：439－448.

［5］Benite J，Thome N.Idempotency of linear combinations of an idempotent matrix and a t－potent matrix that commute ［J］.Linear Algebra APPI，2005，403：414－418.

［6］Benite J，Thome N.Idempotency of linear combinations of an idempotent matrix and a t－potent matrix that do not commute ［J］.Linear and Multilinear Algebra，2008，56：679－687.

［7］宁群 .关于幂等阵的相似与线性组合 ［J］.大学数学，2004，20 （3）：84－86.

［8］张俊敏，成立花，李柞 .幂等矩阵线性组合的可逆性 ［J］.纯粹数学与应用数学，2007，23（2）：231－234.

［9］Horn R A，Johnson C R.Matrices analysis［M］.New York：Cambridge University Press，1991.

［10］汪杏枝 .维线性空间上的幂等秩的线性变换 ［J］.湖北师范学院学报，2001，21（2）：18－22.