离散型随机变量数字特征的计算方法

赵天玉，李 茜 （长江大学信息与数学学院，湖北 荆州434023）

随机变量的数字特征描述了随机变量变化的全貌特点：数学期望或均值描述了随机变量取值的集中位置或平均大小，方差描述了随机变量的取值偏离均值的程度或分散程度。因此，研究随机变量数字特征的计算方法非常必要。在一般的教学过程中，仅仅只介绍随机变量均值和方差的计算公式，给出它们的性质，列举几个例子就完成了任务［1］，很少对均值和方差的计算方法进行系统的概括总结，几乎没有对这些内容进行延伸与扩充，导致学生只会套用公式计算期望与方差，遇到稍微复杂一点的问题就束手无策。为此，笔者以离散型随机变量为研究对象，以母函数为研究工具，讨论了离散型随机变量数学期望和方差的3种计算方法❶❶长江大学精品课程 《概率论与数理统计》。。

1 公式法

这就是离散型随机变量X的期望与方差的计算公式。

如，若X～b（1，p），则：

若X～Ge（p），则：

又因为：

由此得X的方差为：

若X～π（λ），则：

2 随机变量分解法

最后由期望与方差的性质得：

3 母函数方法

母函数有如下性质［4，5］：

（1）概率分布与母函数是一一对应的。对于概率分布的许多研究可化为对其所对应的母函数的研究。

（2）若随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，它们的母函数分别为G1（s），G2（s），…，Gn（s），则X＝X1＋X2＋，…，＋Xn的母函数为G（s）＝G1（s）G2（s），…，Gn（s）。

特别地，当X1，X2，…，Xn独立同分布时，Gi（s）＝G1（s），这时G（s）＝ ［G1（s）］n。

（3）设X1，X2，…，Xn，，…，是一串独立同分布的取非负整数值的随机变量，其母函数为g（s），随机变量Y是取正整数值的，其母函数为G（s）。若 ｛Xn｝与Y独立，则Z＝X1＋X2＋，…，＋XY（若Y＝0，则定义Z＝0）的母函数为H（s）＝G ［g（s）］。

（4）当X 的期望与方差存在时，E（X）＝G′（1），D（X）＝G″（1）＋G′（1）－ ［G′（1）］2。

下面给出用母函数计算数学期望及方差的简便公式：

（2）若X ～π（λ），G（s）＝eλ（s－1），则：E（X）＝G′（1）＝λ D（X）＝G″（1）＋G′（1）－ ［G′（1）］2＝λ

（3）若X ～b（n，p），G（s）＝ （q＋ps）n，则：E（X）＝G′（1）＝np D（X）＝G″（1）＋G′（1）－ ［G′（1）］2＝npq

（5）设 Z 是 母 函 数 的 性质 （3）中的 随 机 变 量，此 时 H（s）＝ G ［g（s）］。由于 H′（s）＝G′［g（s）］g′（s），H″（s）＝G″［g（s）］［g′（s）］2＋g″（s）G′［g（s）］，因此当E（Xi），E（Y），D（Xi），D（Y）存在时，有：

这是计算随机个独立同分布的随机变量之和的期望与方差的公式。

（6）设X1，X2，…，Xn，…，是独立同分布于0－1分布的随机变量序列，Y～π（λ），且与X｛｝n相互独立，则Z＝X1＋X2＋…＋XY的期望与方差分别为：

这个结果可从母函数 H（s）＝G ［g（s）］＝eλ（q＋ps－1）＝eλp（s－1）得到验证，因为Z ～π（λp）。

（7）设X1，X2，…，Xn，…，是独立同分布于参数为p1的几何分布的随机变量序列，Y～Ge（p2），且与 ｛Xn｝相互独立，则Z＝X1＋X2＋…＋XY的期望与方差分别为：

［1］李正耀，周德强 .概率论与数理统计 ［M］.北京：科学出版社，2009：80－97.

［2］侯文 .常用概率分布间的关系 ［J］.辽宁师范大学学报，2005，28（4）：503－505.

［3］匡能晖 .超几何分布的数学期望和方差的定义求法 ［J］.高等数学研究，2010，13（4）：73－74.

［4］复旦大学 .概率论 （第一册：概率论基础）［M］.北京：人民教育出版社，1979.

［5］赵天玉 .基于母函数的常用离散型随机变量概率分布研究 ［J］.长江大学学报 （自然科学版），2013，10（28）：1－3.