挖点法在函数论中的应用

2013-08-11 07:12陇东学院数学与统计学院甘肃庆阳745000
长江大学学报(自科版) 2013年31期
关键词:高等教育出版社正整数邻域

张 骞 (陇东学院数学与统计学院,甘肃 庆阳745000)

在函数论中有很多性质的证明和计算问题,下面笔者主要介绍了挖点法在函数论性质证明和计算中的作用,使得一些问题的解决方法显得直接、简洁,体现出挖点法在解决不同问题中的统一性。

1 在极限和连续性证明中的应用

命题1[1](收敛数列必有界) 若数列{an}收敛,则{an}有界。

证明 设{an}的极限为a,挖去点a的某一个充分小邻域U(a;ε0),由数列极限的定义,存在正整数N,当n>N时,an∈U(a;ε0),即数列{an}中,n>N的项有界;而n≤N的项只有有限项,显然有界,所以{an}是有界数列。

2 证明区间套定理的推论

命题2[1](区间套定理的推论1) 若ξ∈ [an,bn](n=1,2,…)是区间套 {[an,bn]}所确定的点,则对任意ε>0,存在正整数N,当n>N时,[an,bn]⊂U(ξ;ε)。

命题3 (区间套定理的推论2) 若ξ∈ [an,bn](n=1,2,…)是区间套 {[an,bn]}所确定的点,则挖去ξ点的任意邻域,即可挖去区间套{[an,bn]}中的无限个闭区间。

证明 由命题2知对任意ε>0,存在正整数N ,当n>N时,[an,bn]⊂U(ξ;ε),即在U(ξ;ε)内包含区间套{[an,bn]}中n>N的所有 (无限个)闭区间,则当挖去ξ点的任意邻域U(ξ;ε)时,即可挖去区间套 {[an,bn]}中的无限个闭区间。

3 在可积性证明中的应用

命题4[1]若f是区间[a,b]上只有有限个间断点的有界函数,则f在[a,b]上可积。

所以f在[a,b]上可积。

4 在积分计算中的应用

解 由于1是瑕点,挖去1点的左邻域U(1)=(u,1),则:

由例3和例4可以看出,非正常积分的计算,其实质是挖点法。

解 由于 (0,0)在c的内部,则P(x,y),Q(x,y)在c所确定的闭区域D 上有一点 (0,0)处不满足Green公式,这时可以采取挖点法将(0,0)挖掉,用一条包含在c的内部且以(0,0)为内点的简单闭曲线l挖掉(0,0)点,这样由闭曲线c和l确定了一个复连通的闭区域,在其上满足Green公式。为了计算取圆l:x2+y2=ε2,圆区域为D′,利用Green公式,有:

解 由于原点在S的内部区域,则P,Q,R在S的内部有一个奇点(0,0,0)不满足Gauss公式,这时可以采取挖点法将这个奇点挖掉,用一包含在S的内部且以(0,0,0)为内点的光滑闭曲面S′挖掉(0,0,0)点,这样由闭曲线S和S′确定了一个空间复连通的闭区域,在其上满足Gauss公式。为了易于计算取S′:x2+y2+z2=ε2,利用Gauss公式有:

则:

从上述例子可以看出,挖点法在函数论中的重要性,在极限理论、可积性以及积分计算等不同问题中均可以采取挖点法,体现了挖点法在不同问题中的统一应用,特别在积分计算中应用挖点法可以使其转化,也体现了一种间接计算方法。

[1]华东师范大学数学系 .数学分析 (上、下册)[M].北京:高等教育出版社,2012.

[2]钟玉泉 .复变函数论 [M].北京:高等教育出版社,2005.

[3]钟玉泉 .复变函数学习指导书 [M].北京:高等教育出版社,2005.

[4]裴礼文 .数学分析中的典型问题与方法 [M].北京:高等教育出版社,2003.

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