导数在函数中的应用

孙海涛

题型一 求解曲线的切线问题

例1 已知函数[f（x）=x3+1].

（1）求[f（x）]在点[P1，2]处的切线方程.

（2）求[f（x）]过点[P1，2]的切线方程.

分析 第（1）（2）问的区别在于[P1，2]是否是切点，所以第（2）问必须要分类讨论.

解 （1）[fx=3x2，k=f（1）=3]，

∴切线方程为[y-f1=3x-1]，

即[3x-y-1=0].

（2）①若[P1，2]是切点，同第（1）问.

②若[P1，2]不是切点，则设切点为[x0，x30+1]，

从而切线方程为[y-x30+1=f′x0x-x0]，

即[y-x30+1=3x20x-x0]，

它经过[P1，2]，所以[2-x30+1=3x201-x0]，得[x0=-12]（[x0=1]舍去），

∴[f（x0）=34]，∴切线方程为[3x-4y+5=0].

∴切线方程为[3x-y-1=0]和[3x-4y+5=0].

点拨 函数[f（x）]在点[P]处的切线，意味着点[P]是切点；函数[f（x）]过点[P]的切线，那么点[P]不一定是切点，必须分类讨论.

题型二 求解函数的单调性问题

例2 已知函数[f（x）=lnx-ax+1-ax-1（a∈R），]当[a12]时，讨论[f（x）]的单调性.

分析 函数[f（x）]的表达式中既含有对数式，又含有分式，可考虑求导法.

解 [f（x）][=-ax2+x-1-ax2x>0.]

（1）[a=0]时，[f（x）=x-1x2x>0.]

当[x∈0，1]，[f（x）<0]，函数单调递减.

当[x∈1，+∞]，[f（x）>0]，函数单调递增.

（2）[a>0]时，[f（x）][=x-1-ax+1-ax2x>0.]

令[g（x）=x-1-ax+1-a]，[g（x）=0]的两根[x1=1，x2=1a-1]，[g（x）]与[f（x）]的正负号一致.

①[x1=x2]即[a=12]时，由于[Δ=0]，由[g（x）]的图象可知[g（x）<0]，所以[f（x）<0]，

∴[f（x）]在[0，+∞]上单调递减.

②[x1>x2]即[a>12]时，与题意[a12]矛盾，舍去.

③[x1

（3）当[a<0]时，[x2=1a-1<0<1=x1]，由[g（x）]的图象可得当[x∈0，1]时，[f（x）<0]，函数单调递减； 当[x∈1，+∞]时，[f（x）>0]，函数单调递增.

综上所述：当[a0]时，[f（x）]在[0，1]上单调递减，在[1，+∞]单调递增；

当[a=12]时，[f（x）]在[0，+∞]上单调递减；

当[0

点拨 [f（x）]的正负号实际上取决于[g（x）]，所以将解[f（x）<0]，[f（x）>0]分别转化为解[g（x）<0，][g（x）>0]，即转化为解含参数的一元二次不等式问题.

题型三 求函数的极值、最值问题

例3 已知函数[f（x）=13x3-x-1]，[x∈R]. 设函数[f（x）]在区间[[t，t+3]]上的最大值为[M（t）]，最小值为[m（t）]，记[g（t）=M（t）-m（t）]，求函数[g（t）]在区间[[-3，-1]]上的最小值.

分析 要求最值，必须要清楚在[[t，t+3]]有几个极值点，所以要分类讨论.而[txt+3][-3t-1]，区间长度为3，前端[t-1]，所以只用讨论后端点即可.

解 （1）[t+31]即[-3t-2]时， [f（x）]在[t，-1]上递增，在[-1，t+3]上递减，所以[f（x）]在[[t，t+3]]的最大值[M（t）=f（-1）=-13]，最小值[m（t）]是[f（t）]与[f（t+3）]中的较小者.

由[f（t+3）-f（t）=3（t+1）t+2]知，

当[-3t-2]，[f（t）f（t+3）]，

故[m（t）=f（t）=13t3-t-1].

此时[g（t）=f（-1）-f（t）].而[f（t）]在[-3，-2]上递增，

∴ [g（t）=f（-1）-f（t）]在[-3，-2]上递减，

∴[gtmin=g-2=43].

（2）[t+3>1]即[-2

∵[f（x）]在[-2，-1]上递增，在[1，2]上递增，

∴[f（-2）f（t）f（-1）]，又[1

∴[f（1）

而[f（1）]=[f（-2）=-53]，[f（-1）=f（2）=-13]，

∴[M（t）=f（-1）=-13]， [m（t）=f（1）=-53].

∴[g（t）=f（-1）-f（1）=43]，最小值是[43].

综合（1）（2）得，函数[g（t）]在区间[[-3，-1]]上的最小值是[43].

点拨 难点在于定义域是变化的，所以要讨论定义域内有几个极值点；同时在比较大小时借助了函数的单调性，把不在同一个单调区间的两个自变量转化在同一个单调区间上. 另外，在讨论过程中注意结合函数的图象.

例4 已知[f（x）=x2+ax-lnx，a∈R].

（1）若函数[y=f（x）]在[1，2]上是减函数，求实数[a]的取值范围.

（2）令[g（x）=f（x）-x2]，是否存在实数[a]，当[x∈0，e]（[e]是自然对数得底数）时，函数[g（x）]的最小值是3，若存在，求出[a]的值；若不存在，说明理由.

分析 （1）[f（x）0?f（x）]递减，然后利用分离变量法可得.（2）[g（x）=ax-lnx0

解 （1）[f（x）=2x+a-1x=2x2+ax-1x0]，得[a1x-2x][1x2.]

令[h（x）=1x-2x1x2]，易得[h（x）]在[1，2]上递减，∴[h（x）min=h（2）=-72，] ∴[a-72.]

（2）[g（x）=a-1x=ax-1x][0

①当[a0]时，[g（x）0]，[g（x）]在[0，e]单调递减，

∴[g（x）min=g（e）=ae-1=3，]得[a=4e]与前提条件[a0]矛盾，

∴[a=4e]不合题意舍去.

②当[1ae]即[0

∴[g（x）min=g（e）=ae-1=3]，得[a=4e]与前提条件[a1e]矛盾，舍去.

③当[01e]时，[g（x）]在[0，1a]单调递减，[g（x）]在[1a，e]单调递增，

∴[g（x）min=g（1a）=1+lna=3]，得[a=e2]，成立.

综上所述，[a=e2].

点拨 求导法解决含参数的函数的最值问题，必须要考虑在定义域内是否有极值点，如果不能确定，则要分极值点在定义域内和定义域外进行讨论.