导数在圆锥曲线中的应用

陈晓冲

一、利用导数求圆锥曲线的切线方程

利用导数的几何意义求切线方程的步骤是：（1）先求[y=f（x）]在点[x0]处的导数，即为曲线[y=f（x）]在[x=x0]处的切线斜率；（2）再利用点斜式，写出切线方程.

例1 设[P（x0，y0）]是椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]上任意一点（[x]轴上的两个顶点除外），椭圆的左、右焦点为[F1，F2]，过点[P]作椭圆的切线，则切线方程为[y-y0=-b2x0a2y0（x-x0）].

解析 对椭圆方程求导得[2xa2+2yyb2=0]，则[y=-b2xa2y]，

∴切线的斜率[k=yx=x0y=y0=-b2x0a2y0].

故过点[P]的切线方程为[y-y0=-b2x0a2y0（x-x0）].

例2 设[P（x0，y0）]是双曲线[x2a2-y2b2=1（a>b>0）]上任意一点（顶点除外），双曲线的左、右焦点为[F1，F2]，过点[P]作双曲线的切线，则切线方程为[y-y0=b2x0a2y0（x-x0）].

解析 对双曲线方程求导得[2xa2-2yyb2=0]，则[y=b2xa2y.]

∴ 切线的斜率[k=yx=x0y=y0=b2x0a2y0]，

故过点[P]的切线方程为[y-y0=b2x0a2y0（x-x0）].

例3 设[P（x0，y0）]是抛物线[y2=2px（p>0）]上任意一点（顶点除外），抛物线的焦点为[F]，过点[P]作抛物线的切线，则切线方程为[y-y0=py0（x-x0）].

解析 对抛物线方程求导得[2yy=2p]，则[y=py]

∴ 切线的斜率[k=yy=y0=py0]

故过点[P]的切线方程为[y-y0=py0（x-x0）.]

二、利用导数求圆锥曲线的弦中点的轨迹方程

定理：若圆锥曲线的平行弦的斜率为[k]，则平行弦的中点轨迹方程为[y=k].

下面以椭圆为例给出证明.

证明 设椭圆方程为[x2a2+y2b2=1（a>b>0），]

对其求导得[2xa2+2yyb2=0]，则[y=-b2xa2y.]

设平行弦所在的直线方程为[y=kx+c]（[c]为参数），

联立直线与椭圆得，

[（b2+a2k2）x2+2kca2x+a2c2-a2b2=0.]

设两根为[x1，x2]，由韦达定理有

[x=x1+x22=-kca2b2+a2k2，]

而[y=kx+c=k（-kca2b2+a2k2）+c=cb2b2+a2k2，]

消去参数[c]即得平行弦的中点轨迹方程[yx=-b2ka2.]

变形有[k=-b2xa2y=y]，即证.

读者可自己完成双曲线、抛物线情况的证明.

按此定理解圆锥曲线的弦中点问题，独到新颖，简洁明快.例如求弦中点所在直线方程或求与弦中点有关的轨迹问题和圆锥曲线方程等.