浅谈基本不等式的应用

陈明发

摘 要：基本不等式是中学数学中非常重要的不等式，在解题中应用十分广泛.灵活应用基本不等式解题是高考命题的热点，是教与学的重点及难点.通过举例来探讨基本不等式在解题中的一些应用及注意事项，让学生在学习中充分经历知识的形成过程，从而形成自己对基本不等式的突破策略，培养学生的归纳、总结能力.

关键词：不等式；中学数学；基本不等式；函数最值

一、用于求最值

运用基本不等式是求最值的一种常用方法，必须满足“一正、二定、三相等”这三个条件.但往往不能直接套用，通常要经过恰当地变形才能运用.

已知x>0，y>0，则

（1）积定，和最小.

如果积xy是定值P，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值是

2 .

（2）和定，积最大.

如果和x+y是定值S，那么当且仅当x=y时，xy有最大值是 .

例1.求函数y=x+ （x<0）的最大值.

分析：因为x<0，所以先要“调整”符号，后再对x进行变形.

解：∵x<0，

∴y=x+ =-（-x）+ ≤-2 =- .

当且仅当x=- 时，等号成立，故ymax=- .

评注：此题的关键就是对数的符号的调整，满足是在正数的条件下运用基本不等式.

二、用于证明不等式

利用基本不等式证明不等式，应先观察题目的条件是否满足基本不等式的使用条件，若不满足，则应通过添项、拆项、配系数、“1”的代换等方法，使其满足，再结合不等式的基本性质，达到证明的目的.

例2.已知a>0，b>0，c>0，d>0，求证： + ≥4

证明： + = + + + =（ + ）+（ + ）≥2+2=4.

当且仅当a=b且c=d，等号成立.

故 + ≥4.

评注：此题考查了常见结论“ + ≥2（a、b同号）”的应用.其常用的结论还有 ≤ ≤ ≤ （a、b∈R+）.

三、用于大小的比较

例3.已知实数a，b，c满足a+b+c=1，试比较a2+b2+c2，ab+bc+ac， 的大小.

解：∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤a2+b2+c2+（a2+b2）+（b2+c2）+（a2+c2）=3（a2+b2+c2）.

∴a2+b2+c2≥ .

∵a2+b2≥2ab，當且仅当a=b时，等号成立.

b2+c2≥2bc，当且仅当b=c时，等号成立.

a2+c2≥2ac，当且仅当a=c时，等号成立.

三个不等式相加得：a2+b2+c2≥ab+bc+ac，

（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥3（ab+bc+ac），

∴ab+bc+ac≤ ，当且仅当a=b=c时，等号成立.

∴ab+bc+ac≤ ≤a2+b2+c2.

评注：当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法.

四、用于求取值范围

例4.若a<0，0

分析：a>1，0

解：∵logab+logba=-（-logba）+（- ）

又（-logab）+（- ）≥2 ∴logab+logba≤-2

当且仅当logab=logba，即当b= 时，等号成立.

因此，所求的取值范围为（-∞，-2].

五、用于解实际生活中的问题

例5.某厂花费50万元买回一台机器，这台机器投入生产后每天要付维修费，已知第x天应付的维修费为 （x-1）+500元.机器从投产到报废共付的维修费与购买机器费用的和均摊到每一天，叫做每天的平均损耗，当平均损耗达到最小值时，机器应当报废.

（1）将每天的平均损耗y（元）表示为投产天数x的函数；

（2）求机器使用多少天应当报废？

解：（1）机器投产x天，每天的平均损耗是

y=

= 500000+500x+ x（x-1）= + +499

（2）y= + +499 ≥2 +499

=200+499 =999 .

当且仅当 = ，即当x=2000时，等号成立.

所以，这台机器使用2000天应当报废.

评注：利用基本不等式解决实际问题时，首先要认真审题，分析题意，建立合理的不等式模型，最后通过基本不等式解题.注意最常用的两种题型：积一定，和最小；和一定，积最大.

基本不等式是高中数学的重要内容，在历年高考试题中有广泛的应用.数学教师在教学中要让学生理解并掌握以上几种常见的类型，使学生在解决此类问题时思路清晰，从而加快解题的速度和提高解题的正确率；并且要对知识进行归纳总结，注意突出重难点，使学生在理解的基础上更加容易记忆，能够牢固掌握知识.

参考文献：

[1]肖刚.浅议均值不等式.高中数学教与学，2010（10）.

[2]赵建勋.浅谈均值不等式的应用.高中数学教与学，2011（5）.

[3]姜建平.例谈基本不等式的运用.数理化解题研究：高中版，2012（12）.

（作者单位 福建省仙游县华侨中学）