无线通信网络中的M/G/1重试排队模型

周宗好，石志岩

（1.黄山学院数学与统计学院，安徽黄山245041；2.江苏大学理学院，江苏镇江212013）

无线通信网络中的M/G/1重试排队模型

周宗好1，石志岩2

（1.黄山学院数学与统计学院，安徽黄山245041；2.江苏大学理学院，江苏镇江212013）

为了使无线网络的节点尽可能的节约电能，本文讨论睡眠唤醒机制下网络节点的动态排队.当无线网络节点中缓存队列变空时，节点即不发送也不接收数据包并且进入一段随机长度的休假期.为了使模型具有更一般的适用性，考虑节点对数据包传输时间分布为一般分布.基于上述要求本文研究了带有空竭服务的单重休假、一般重试时间的M/G/1排队系统，求得系统稳态存在的充分必要条件.利用向量马氏过程(VMP)的方法求得系统的各项排队指标.求解的结论可用于优化无线通信网络的各项性能指标.

无线通信网络；稳态分布；马氏链；空竭服务

1引言

无线网络节点对电能的需求也在不断地提高，因此采用有效的功率管理(powermanagement)机制使节点降低能耗是无线网络设计首先需要考虑的因素[1].另外，作为无线网络的另一个重要因素，网络的QoS也必须得到有效的保障，降低网络节点能耗和保障网络QoS的折衷问题已经成为近几年无线网络中的研究热点之一，本文就无线通信网络中的排队系统在工作中节点常因无数据传输而休假[2]；常因为了节省资源而具有空竭服务[3-4]；也就是笔者考虑的带有空竭服务的M/G/1排队模型.

2模型描述

无线网络节点可视为排队系统的服务台，它负责传送到达的数据流.节点工作在两种状态：活动(active)状态和睡眠(sleep)状态.在活动状态，节点具有较高的能耗，处于此状态的网络节点主要工作在三个阶段：传输期、空闲期和休假期，其中传输期和空闲期为活动状态，并作假设：

数据包到达服从参数为λ的Poisson流，数据包到达受阻则离开服务区域进入无限位置的重试轨道(orbit)，并且按照FCFS规则排队等待.系统服务完一个数据包后，若orbit中没有数据包则系统直接进入休假期，即空竭服务规则.重试时间间隔和数据包的服务时间、处理器休假时间都服从一般分布函数A(x)、B(x)和V(x)；它们的密度函数、拉普拉斯司梯阶变换(LST)、一阶矩及二阶矩分别为统只有在服务时间里才发生故障，失效率为μ，数据包已经服务过的时间有效.假定数据包的到达时间间隔、服务时间、处理器的休假时间分布相互独立.

设C(t)=i表示节点所处的状态(i=0,1,2,分别表示在时刻t节点处于空闲、服务和休假期)；N(t)表示在时刻t在orbit中的数据包数；当C(t)=0且N(t)>0时，ξi(t)(i=0,1,2)分别表示在时刻t逝去的重试、服务和休假时间.马尔可夫过程的状态空间为：

令a(x),b(x),v(x)分别表示在时刻t重试、服务和休假的风险率函数，即有：

3稳态条件分析

系统的到达过程为Poisson流，由Burke定理知马尔可夫过程C(t),N(t),ξ0(t),ξ1(t),ξ2(t)}的稳态概率分布存在当且仅当

4 模型求解及相关指标

t≥0,i≥0,x≥0.

由补充变量法可得系统稳态的微分方程组：

边界条件为：

正则性条件：

利用上面的（1）-（11）式，讨论系统的稳态分布,令：

把上面微分方程(1)-(10)取概率母函数，并把i从0到∞求和得:

由(16)-(18)得：

把(25)乘以v(x)，并从0到∞积分，考虑(1)式得：

由(21)知：

把(22)代入(20)式得：

把(23)、(28)、(24)、(27)式代入(19)式,同时考虑(21)与(26)式得：

把(29)式代入(28)式整理得：

再把(29)、(30)、(27)式代入(22)-(24)式可得：

运用LH0spital法则和正则性条件：P0,0+P0(1)+P1(1)+P2(1) =1经整理得：

5 排队指标

根据以上求得的概率母函数可以求得一下结论：

（1）节点处于空闲、服务与休假期的概率分别为：

（2）系统中数据包数、orbit中的数据包数的概率母函数分别是：

进一步可得系统的平均数据包数和orbit中队列的平均数据包数分别为：

（3）系统中的数据包平均等待时间与平均逗留时间分别为：

6 结束语

本文针对无线通信网络的数据包服务时间为一般分布的M/G/1型排队模型进行了求解，该模型概括了服务时间是定长分布、指数分布及Erlang分布的特殊情况，从而使其具有普遍的适用性.模型还进一步考虑了无线通信网络的数据包的重试传输、节能空竭服务与休假策略，因此模型的结论具有重要的应用价值.

〔1〕KrishnaKB,Arivudainambi,TheM/G/1Retrial QueuewithBernoulliVacationGeneralRetrialTimes [J],ComputersandMathematics.2002,43(1-2):15-30.

〔2〕周宗好,朱翼隽,冯艳刚.具有Bernoulli休假的M/G/1重试可修排队系统[J].运筹学学报,2008,12(1):71-82.

〔3〕朱翼隽,周宗好,冯艳刚.具有优先权的M/G/1重试可修排队系统[J].自动化学报,2008,34(2):195-201.

〔4〕MorenoP,AnM/G/1retrialtimewithrecurrentcustomersandgeneralretrialtimes[J],AppliedMathematics andComputation,2004,159(3):651-666.

〔5〕KrishnaKB,PavaiMS,VijayakumarA,TheM/G/1 retrialqueuewithfeedbackandstartingfailures[J], AppliedMathematicalModelling,2002,26(11):1057-1075.

〔6〕AtenciaI.,MorenoP,Asingle-serverretrialqueue withgeneralretrialtimesandBernoulliSchedule[J], AppliedMathematicsandComputation,2005,162(2): 855-880.

〔7〕TakacsL.Introductiontothetheoryofqueues[M], NewYork:OxfordUniversityPress,1962:1-355.

O226

A

1673-260X（2013）06-0001-03

国家自然科学基金资助项目(11226210)；安徽省高校省级自然科学研究项目(KJ2013B272)；黄山学院科研启动项目(2012xkjq008)