多圆盘上的对偶Toeplitz算子

刁思博

（浙江师范大学数理信息学院，浙江金华321000）

多圆盘上的对偶Toeplitz算子

刁思博

（浙江师范大学数理信息学院，浙江金华321000）

在本文中我们研究多圆盘上的对偶Toeplitz算子,着重研究了Sf与其符号f之间的关系,讨论了当Sf可逆时f满足的条件,从而进一步推出了多圆盘Hardy空间中的谱嵌入定理,得到了Sf≥0的充要条件.这些结论都是和单位球中的结论类似的.

多圆盘；对偶；Toeplitz算子

Toeplitz算子是现代算子理论中重要的一类,在一般的算子理论方面,它可以作为模型参考,而在算子理论等方面起着纽带和桥梁的作用.从上世纪末以来,人们对于对于Toeplitz算子以及Hankel算子的研究有了各种推广,比如从单位圆盘推广到单位球,再到多圆盘等.关于这些可以参考[1,2,3].另一方面是空间测度的推广,比如从Hardy空间推广到Bergman空间,人们自然会想到在这些推广过程中,经典的Tooeplitz算子理论能否成立,有许多工作表明,在推广的过程中,存在很多的差异,在这个过程中,我们不仅需要函数论的知识,也要借助各种代数,拓扑的方法,比如代数拓扑, Banach代数等.

1 基本概念

设D为单位圆盘,Dn表示多圆盘,Tn为其边界,多圆盘上的Hardy空间H2(Tn)为Tn上平方可积函数组成的Hilbert空间,其正交补记为(H2(Tn))⊥.令P代表从L2(Tn)到H2(Tn)的投影, Q代表L2(Tn)到(H2(Tn))⊥上的投影,Q(g)=(I-P)g.对于φ∈L∞(Tn),我们按以下方式定义H2(Tn)上的Toeplitz算子Tφ:

Tφf=P(φf),f∈H2(Tn)

接下来我们就可以定义(H2(Tn))⊥上的对偶Toeplitz算子:

我们知道,投影Q的范数是1,则对所有的h∈(H2(Tn))⊥,我们有结论:

由以上几种算子的定义,我们可以把H2(Tn)上的乘法算子Mf(f∈L∞(Tn))表示成如下形式:

在[8]中研究了单位圆盘和单位球上的对偶Toeplitz算子的一些基本性质,

2 多圆盘上的对偶Toeplitz算子

引理1对于Tn上的连续函数ψ,z∈Tn,有:

其中,对任意的ε＞0,任意固定的z,我们可以构造以下邻域:

那么在Tn/Vz上我们有

根据以上式子我们对Tn/Vz上的积分可以进行如下计算:

令一方面,对于0＜δ＜n(n+1)-ρ＜1,经过简单计算可以得到:

由以上不等式我们可以推出:

那么现在就有

现在对任意连续的ψ,有

此时ψ的连续性保证了我们想要的结果,引理得证.

定理1设φ∈L∞(Tn),如果Sφ在(H2(Tn))⊥中可逆,那么符号φ在L∞(Tn)中也是可逆的.

证明这个定理Bergman空间中是成立的[9],在这里我们根据引理1采用不同的方法进行证明.

如果Sφ是可逆的,那么存在某个正数k＞0,满足:||Sφf||2≥k||f||2,对任意的f∈(H2(Tn))⊥都成立.

我们知道投影Sφ的范数为1,那么我们有:对任意的f∈(H2(Tn))⊥都成立.

此时我们取f(z)=〈ζ,z〉(1+〈ζ,z〉)m,其中ζ∈Tn,m＞1

那么对于任意非负的连续ψ,有:

由此,根据富比尼定理和前面的引理1,我们可以得到

对于Tn中所有连续非负的ψ都成立.因此可以得出|φ (z)|≥k在Tn中几乎处处成立,因此φ在L∞(Tn)中是可逆的.定理得证.

从定理1我们可以得到很多推论,比如多圆盘上对偶Toeplitz算子的谱嵌入定理.在此之前我们先回顾一下本性有界函数f,记其本性值域为R(f),σ(T),r(T)分别表示算子T的谱和谱半径,那么我们有:

推论1若f∈L∞(Tn),则R(f)=σ(Mf)⊆σ(Sf).

证明显然有R(f)=σ(Mf).由于对任意的λ∈C,有Sf-λ= Sf-λ,运用定理1就可以得到R(f)⊆σ(Sf).

[7]我们可以知道对于Hardy空间上的Toeplitz算子,由谱嵌入定理可以立即推出:||Tf||=||f||∞.由此可以得到以下结果.

推论2定义在L∞(Tn)上的映射η:

是由L∞(Tn)到B(H2(Tn))⊥的等距映射,即有||Sf||=||f||∞=r(Sf).

证明由推论2和参考文献中[6]中的命题2.28,我们可以得出:对于f∈L∞(Tn),有

我们可以得到η是等距映射.

接下来我们考虑一类特殊的算子:幂零算子.一个算子S被称为幂零算子,若存在某个正数n,使得Sn=0,令Sn=0的最小n称为幂零指数,S被称为拟幂零算子,于多圆盘上的对偶Torplitz算子,我们有以下结论:

推论3多圆盘Hardy空间中不存在非零的拟幂零对偶Toeplitz算子.

证明由上文,若Sf是拟幂零算子,则||Sf||=||f||∞=r(Sf)==0,这说明Sf≡0.

更进一步的我们可以得到以下推论:

推论4设f∈L∞(Tn),则Sf≥0当且仅当f≥0.

证明若f≥0,则〈Sfg,g〉=〈Q(fg),g〉=〈fg,g〉

说明Sf≥0.

反过来,若Sf≥0,说明Sf的谱在R+中,由推论1有R(f)⊆σ(Sf)⊆R+.即f≥0.

参考文献:

〔1〕DurenP.TheoryofHpspace[M].NewYork:AcademicPress,1970.

〔2〕ZhuK.Operatortheoryinfunctionsspaces[M].New York:MarcelDekker,2000.

〔3〕ConwayJ.Acourseinoperatortheory[M].USA: Amer.Math.Soc.,2000.

〔4〕DurenP.,SchusterA.Bergmanspaces[M].USA:Math. Sur.Mon,2003.

〔5〕McDonald,G.;Sundberg,C,Toeplitzoperatorsonthe disc.IndianaUniv.Math.J.28(1979),no.4,595–611.

〔6〕K.Zhu.Operatortheoryinthefunctionspace[M].Marcel Dekker,Inc.NewYork,1990.

〔7〕W.Rudin.Realandcomplexanalysis[M].McGraw-Hill,NewYork,1974.

〔8〕T.Yu.S.Y.Wu:AlgebraicpropertiesofdualToeplitz operatorsontheorthogonalcomplementoftheDirichletsphere.ActaMath.Sinica(Eng.Ser.)24(11),(2008), 1843-1852.

〔9〕卢玉峰,尚书霞.多圆盘上对偶Toeplitz算子的性质[J].数学研究与评论，2007(03).

〔10〕于涛，孙善利.加权Bergman空间上的紧算子.数学学报，2001，vol.44,No.2,233-240.

〔11〕LISong-xiao,HUjun-yun.CompactCperatorson BergmanSpacesoftheUnitBall.[J].ActaMathSinica, 2004,47(5):837-844.

〔12〕RochbergR,WuZ.ToeplitzoperatorsonDirichlet spaces.IntegralEquationandOperatorTheory,1992,15 (2),325-342.

〔13〕WuZhiJian.HankelandToeplitzOperatorson DirichletSpace.IntegralEquationandOperatorTheory,1992,15,no3,503-525.

〔14〕CaoGuangFu,ZhuLu.TheCompactnessofToeplitz OperatorsonDirichletSpaces.ActaMath.Sinica(Chin. Ser),44,(2001),no.2,241-248.

〔15〕LuY,SunS.ToeplitzOperatorontheDirichletSpace [J].ActaMath.Sinica,EnglishSeries,2001,17：643-648.

〔16〕J.Conway.Acourceinfunctionalanalysis[M]. Springer.NewYork,1985.

〔17〕R.Douglas.Banachalgebratechniquesinoperatortheory[M].AcademicPress,NewYork，1972．

〔18〕A.Brown,P.Halmos.AlgebraicpropertiesofToeplitz operators[J].ReineAngew.Math.213(1964):，89-102.

〔19〕BrownA,HalmosPR,AlgebraicpropertiesofToeplitz Operators.J,ReineAngew.Math,1963/1964,213:89-102.

〔20〕DechaoZheng.HankelOperatorsandToeplitzOperatorsontheBergmanSspace,[J].Func.Anal.83(1989),98-120.

O174.56

A

1673-260X（2013）06-0004-02