模糊距离空间

呼和

（内蒙古大学，内蒙古呼和浩特010021）

模糊距离空间

呼和

（内蒙古大学，内蒙古呼和浩特010021）

本文我们主要介绍了模糊距离空间的概念，在模糊距离空间里两点间的距离是非负的、上半连续的、正规的、凸的模糊数.近几年这些研究在概率度量空间做了很多.介绍概率度量空间的原因就在于，很多情况下两点间距离不是一个准确的单独的实数，但是当测量一个正常的长度时，距离的不确定度不是由于随机性导致的而是由于模糊度，这时引进模糊距离空间的概念就更合适.Kramosil和Michalek介绍模糊距离空间是通过把概率度量空间的概念推广成模糊的情况.本文的目的在于通过指定两点间距离为一个非负的模糊数，再把距离空间的概念推广成模糊的情况.文中第一部分我们研究了模糊数的性质，第二部分我们定义了模糊距离空间，研究了它的一些性质并给出证明.

模糊度；模糊度量空间；模糊数

1 模糊数的性质

一个模糊数是实数轴上的一个模糊集，即映射x:R→[0,1].一个模糊数x如果x(t)≥min{x(s),x(r)}，其中s≤t≤r则它是凸的.在以前文章中指出x是凸的当且仅当它的每一个α水平集[x]α满足∀α，0＜α≤1，都有[x]α={t|x(t)≥α}是R中的凸集.

给出证明：(必要性)设α∈(0,1],∀t1,t2∈[x]α，λ∈[0,1].要证λt1+(1-λ)t2∈[x]α，由于min{t1,t2}≤λt1+(1-λ)t2≤max{t1,t2}，故x[λt1+(1-λ)t2]≥min{x(t1),x(t2)}≥α因此λt1+(1-λ)t2∈[x]α.

(充分性)设s≤t≤r，取α=min{x(s),x(r)}.要证x(t)≥α，若α=0则显然x(t)≥0=α.若0＜α≤1，由于[x]α是凸集.且s,t∈[x]α，故λt1+(1-λ)t2∈[x]α，其中

如果∃t0∈R，使x(t0)=1，那么x成为是正规的（ker[x(t)= {t|t∈R,x(t)=1}]当且仅当kerx(t)≠ø，x(t)是正规的）.一个上半连续凸的正规的模糊数的α水平集[x]α是一个闭区间[aα，bα]，其中aα=-∞，bα=+∞是允许的.

给出证明：[x]α={t|x(t)≥α}是R中非空闭凸子集，故一定是闭区间.

记所有上半连续正规的凸的模糊数为E.R能够嵌入到E中，即，使R存在一一映射.

若模糊数x∈E，则x是正规的凸的上半连续的.

证明定义x:R→[0,1]，∀t∈R记α(t)={α∈[0,1]|t∈[aα, bα]}.若α(t)≠ø则x(t)=supα(t)，若α(t)=ø则x(t)=0.由于x∈E，[a1,b1]≠ø取t0∈[a1,b1]则x(t0)=1.设s≤t≤r若min{x(t1),x(t2)}=0则x(t)≥min{x(t1),x(t2)}，若min{x(t1),x(t2)}=0则α(t)≠ø，α(s)≠ø取α=min{x(t1),x(t2)}由x(r)定义知,对于n=1,2,…，∃αn∈α(r)使从而得到，同理可证故由条件(2)可知bα]故x(t)≥α=min{x(r),x(s)}.∀t∈[x]α⇒x(t)≥α＞α-1k，k≥N得t∈[aα,bα]，∀t∈[aα,bα]⇒α∈α(t)⇒x(t)=supα(t)≥α，∀α,0＜α≤1,{t∈R|x(t)≥α}=[aα,bα]是闭集.α=0,{t∈R|x(t)≥0}=R是闭集.因此x∈E且[x]α=[aα,bα].

一个模糊数x称为是非负的，如果x（t0）=0，∀t＜0记G为E中所有的非负模糊数.有x=y⇔∀t∈R,x(t)=y(t)，把+,-,.和/运算定义为E×E→E.

0＜α≤1.

反过来，如果[aα，bα],0＜α≤1是x∈E的α水平集[x]α2，则条件(a)和条件(b)可以满足.

证明(a)设x∈E，0＜α1≤α2≤1，∀t∈[aα2，bα2]=[x]α2,得到x(t)≥α2≥α1⇒t∈[x]α1=[aα1，bα1]，得到[aα2，bα2]⊂[aα1，bα1].

(b)设x∈E,{αk}⊂(0,1]且αk是递增序列有由(a)可得，从而是递增且有上界aα的数列是递减且有下界bα的数列，从而存在且小于等于存在且大于等于bα.因此

xn∈G，n=1,2,…,[xn]α=[αn,2-α]，有xn+1≤xn，但是不是一个模糊数的2-α水平集.

2 模糊距离空间

设X是一个非空集合，d是一个X×X到G上的映射且设为L，R:[0,1]×[0,1]→[0,1]关于两个变元是对称的非减的且L(0,10)=0,R(1,1)=1记[d(x,y)]α=[λα(x,y),ρα(x,y)]，对于x,y∈X,0＜α≤1称(X,d,L,R)是一个模糊距离空间且d是一个模糊度量，如果：

证明：距离空间是模糊距离空间的特殊情况.

只需证明s+t=d(x,y)时d(x,z)(s)≠0或d(z,y)(t)≠0，即s=d(x,z)或t=d(z,y)由于d(x,y)=s+t≥d(x,z)+d(z,y)≥d(x,y)，故d(x,y) =s+t=d(x,z)+d(z,y).推出d(x,z)-s=t-d(z,y)⇒s=d(x,z),t=d(z,y)，因此

〔1〕D.W.Boyd,J.S.W.Wong,Onnonlinear,Proc.Amer. Math.Soc.20(1969)458-464.

〔2〕M.M.Gupta,R.K.RagadeandR.R.Yager,Editors, AdvancesinFuzzySetTheoryandApplications(North-Holland,NewYork,1979).

〔3〕OsmoKALEVAandSeppoSEIKKALA,ONFUZZY METRICSPACES,FuzzySetsandSystems12(1984) 215-229.

O159

A

1673-260X（2013）06-0014-03