采油用单螺杆泵排量的优化设计

韩国有，徐恒斌，宋玉杰，陈德海

（东北石油大学机械科学与工程学院，黑龙江大庆 163318）＊

单螺杆泵与其他人工举升设备相比具有很多的优点，例如投资少、设备结构简单、操作方便、节能效果明显以及适应性强等。随着国内外各大油田开发进程的日益加快，油田开发的难度不断增加，部分油井呈现含水量高、含砂多等特点。单螺杆泵凭借其所特有的优越性能，在油田的应用数量呈明显上升趋势，并有望成为油田主要的机采方式之一。

但是，单螺杆泵在国内外油田的使用过程中也受到了诸多条件的限制，例如排量、扬程、工作温度、应用条件和管理经验等方面的限制，这些局限性严重制约着螺杆泵采油技术的推广和普及。

为此笔者结合文献［1］，在对短幅内摆线型采油用单螺杆泵转子和定子线型进行分析的基础上，对其排量进行了优化设计，得出了螺杆泵中定子螺距、定子橡胶外径和定子橡胶的最小壁厚（双边）之间的最佳匹配关系。

1 线型分析

螺杆泵转子和定子的线型有很多种，本文仅讨论短幅内摆线的线型，即定子线型是短幅内摆线等距曲线，而转子线型则是由定子线型按外滚法运动所得的内包络线（比定子曲线少1头）［2－5］。

1.1 定子骨线方程

半径为R2的圆沿半径为R1的圆做相对纯滚动，则R2圆平面上任意点M 在R1圆平面上的轨迹称为摆线。如图1所示，该任意点M 称为发生点或动点，R2圆称为滚圆，R1圆称为导圆。发生点到滚圆圆心的距离称为动点距，常用d 表示，导圆圆心到滚圆圆心的距离O1O2称为中心距。变幅系数K＝d／R2，R1／R2＝N，N为自然数，即周期为N，等效动点为1。M 点的轨迹必为N 头单循环内摆线。

图1 内摆线的形成

以导圆滚角θ为参量，当形成θ时，通过矢量关系推导可得内摆线的复矢量方程为

上式中n＝N－1，0≤θ≤2π，0＜K＜1，括号内的部分反映内摆线的形状特征，R2反映尺寸的影响。当R2取不同值时，可得到一族相似的内摆线，若令

它是R2＝1时的内摆线，称为单位摆线，借助单位摆线可使分析问题和运算简化。

1.2 转子骨线方程

转子骨线的形成原理如图2所示，以半径为（NK）的圆作动瞬心圆，携带R0（θ）沿定瞬心圆（nK）外侧作纯滚动。它相当于定子骨线R0（θ）绕自身形心O2做自传，自转角为φ／n，同时自身形心O2绕定坐标系O1作半径为偏心距E的公转，其公转角为Nφ／n。

图2 定子骨线的运动

则定子骨线运动的复矢量方程为

2 优化设计

目前，采油用单螺杆泵的最大排量＜400m3／d，这就导致其在对排量要求较高的大储量油田中的使用受到限制。因此，本文利用拉格朗日乘数法对采油用单螺杆泵的排量进行优化设计，确定螺杆泵中定子螺距、定子橡胶外径和定子橡胶的最小壁厚（双边）之间的最佳关系。

2.1 设计变量

本着用最少的设计变量反映最主要的特性，同时考虑各变量间相互独立的原则，本文选取了螺杆泵定子橡胶外径Dp和定子螺距ph为设计变量。记为X，即

2.2 目标函数

螺杆泵的排量表达式为［6］

式中：i为定转子头数比；ph为定子螺距，mm；Dp为定子橡胶外径，mm；th为定子橡胶的最小壁厚（双边），mm；ω为转子角速度，rad／min。

当忽略二次流动时，采油单螺杆泵传送的流体介质中1个流体粒子的流动速度表达式为［3］

式中：n为转子头数。

下面以短幅内摆线型采油用单螺杆泵转子和定子的骨线方程为优化问题的几何描述，用拉格朗日乘数法求式（4）在约束条件式（5）下的极值，进而对螺杆泵的排量进行优化设计，得出螺杆泵中定子螺距、定子橡胶外径和定子橡胶的最小壁厚（双边）之间的最佳关系。

拉格朗日函数表达式为

式中：λ称为拉格朗日常数。

式（6）就是对采油单螺杆泵的排量进行优化设计的目标函数。

2.3 设计计算

对式（6）中Dp、ph求偏导数，并且令其等于零。得

由式（7）可以得到λ的表达式为

将式（9）代入式（8）并简化可得

式（10）即为螺杆泵中定子螺距与定子橡胶外径及定子橡胶的最小壁厚（双边）之间的最佳关系式。

式（10）经过变形可得

式（11）反映了th／ph与Dp／ph之间的函数关系，绘制成曲线如图3所示。由图3可以看出：th／ph与Dp／ph之间呈线性关系，且当Dp／ph取值为0.45时，th／ph等于0；只有当Dp／ph之比取值大于0.45时，th／ph才能大于零。即只有当采油用单螺杆泵中定子橡胶外径与定子螺距之比＞0.45时，采油用单螺杆泵才具有现实意义。

图3 th／ph与Dp／ph关系曲线

2.4 螺旋角优化设计

定子螺旋角的计算公式为

式中：Dh为定子橡胶内径（如图4所示），mm。

图4 定子横截面示意

将式（13）代入式（10）可得

将式（14）代入式（12）可得

即定子的最优螺旋角等于35.26°。

3 结果分析

将式（10）代入式（4）并简化，可得到采油用单螺杆泵排量的优化设计表达式为

假设Dh和ω是常量，则排量与定转子头数比的关系曲线如图5所示。排量与转子头数的关系曲线如图6所示。

图5 定子和转子头数比与排量关系曲线

图6 转子头数与排量的关系曲线

由图5～6可以看出：在定子的直径Dh和转子的角速度ω保持不变的情况下，随着螺杆泵的头数比i的取值逐渐增大，螺杆泵的排量Q 呈现逐渐上升的趋势，且上升的趋势逐渐加快；随着采油单螺杆泵的转子头数的取值逐渐增大，螺杆泵的排量Q 也呈现逐渐上升的趋势，但上升的趋势逐渐减慢。因此，转子头数的取值并不是越大越好，笔者认为在6左右为最佳。

4 结论

1）采用拉格朗日乘数法对采油用单螺杆泵的排量进行优化设计，得出了采油用单螺杆泵的定子螺距、定子橡胶外径和定子橡胶的最小壁厚（双边）之间的最佳关系。

2）在确定采油用单螺杆泵的定子螺距、定子橡胶外径和定子橡胶的最小壁厚（双边）之间的最佳关系的基础上，得出了定子的最优螺旋角是35.26°。并且得到了采油用单螺杆泵排量的优化设计表达式。

3）得出了采油用单螺杆泵的排量与定转子头数比及转子头数之间的关系曲线。表明转子头数的取值并不是越大越好，认为转子头数取6左右为最佳。

［1］Robello Samuel G，Ken J Saveth.Optimal design of Progressing Cavity Pumps［J］.Journal of Energy Resources Technology，2006，128（4）：275－278.

［2］韩国有，宋玉杰，杜秀华，等.采油螺杆泵举升性能检测技术［M］.哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社，2011.

［3］杜秀华，任斌，韩国有.双头单螺杆泵的线型设计及虚拟建模［J］.石油矿场机械，2007，36（1）：33－35.

［4］宋玉杰.单螺杆泵螺杆－衬套副型线研究［D］.大庆：大庆石油学院，2008.

［5］韩国有，姜长鑫，杜秀华.普通内摆线型双头螺杆泵的建模及运动仿真［J］.石油矿场机械，2011，40（1）：1－4.

［6］Robello Samuel G.Mathematical Modeling and Design Analysis of the Power Section of a Positive Displacement Motor（PDM）［D］.University of Tulsa，1997.