幂律流体偏心环空流动中的波动压力修正模型

李征，朱宏武，孔祥领，范效礼，郝健生

（1.中国石油大学（北京）机械与储运工程学院，北京 102249；2.中国石油技术开发公司，北京 100028）＊

在石油钻井过程中，下放钻杆或套管时，管柱的往复运动会造成井眼中的压力波动。此压力波动较大时会造成井塌或井漏等事故［1－6］。Burkhardt在现场试验的基础上，推导出了幂律流体井内波动压力的半经验公式［7］。然而，Burkhardt公式仅适用于管柱轴心与井眼轴心重合的情况（同心环空），并不适用于偏心环空流动。在倾斜井、水平井中，管柱由于重力作用，其轴线与井眼中心偏离，环空中的流动属于偏心环空流动。目前，对于偏心环空层流中的压力波动计算主要采用2种计算方法，分别是双极坐标法［4］和无限细分法（把偏心环空转化为一系列的同心环空模型叠加）［5－7］。对于偏心环空紊流流动，主要采用CFD 模拟［8］和试验［9］的方法来探索其规律。本文通过CFD 数值计算，分析了环空比和偏心度对幂律流体偏心环空中压力梯度的影响，通过数值拟合建立了Burkhardt公式中的常系数、泥浆粘附系数与偏心度和环空比之间的函数关系，从而扩展了Burkhardt公式的适用范围，使之可以计算幂律流体偏心环空紊流流动中的压力梯度。利用已有文献数据对扩展Burkhardt公式进行了验证，误差＜9%，从而验证了该公式的可靠性。

1 数学模型

假设流体在偏心环空中作等温紊流流动，内管作轴向运动。柱面坐标系下其速度场为v（vz（r，θ），vr（r，θ），0），根据N－S 方程幂律流体偏心环空紊流流动的控制方程为

式中：ρ为幂律流体密度；p为环空压力；f（r）、f（z）为重力加速度在柱坐标系中的分量。

偏应力分量可以表示为

式中：η为幂律流体视黏度。在本模型中η的表达式为

式中：K为幂律流体稠度系数；n为流性指数。偏心环空轴向流动的边界条件为

式中：vp为内管运动速度，m／s；Ri、Ro为内外管半径，m。

求解式（1）～（7）即可得到偏心环空紊流流场中的各个分量（速度、压力、流量）。但是，式（1）～（7）构成了1组耦合的拟线性偏微分方程组，求解很困难。因此，已有的研究中多采用数值模拟和试验的方法。

2 Burkhardt公式

1960年，Burkhardt［3］根据现场测得的试验数据提出了井内波动压力的计算公式，其表达式为

式中：psb为波动压力，kPa；f为摩阻系数，无因次；Re为雷诺数，无因次；ρ为流体密度，g／cm3；L为运动管柱长度，m；dh，do分别为内外管直径，m；为环空平均流速，m／s。

式中：vi为环空入口流速，m／s；vP为由泥浆粘附力所造成的环空流速；Kc为泥浆粘附系数，无因次，在幂律流体偏心环空紊流流动中取0.5。

在下套管过程中，套管携带一部分流体随套管一起向下运动，在井底上返进入环空中。泥浆粘附系数代表了套管携带流体能力的大小，进而影响环空中的平均流速。由式（8）～（9）可以看出，同心环空中波动压力与泥浆粘附系数呈现正相关趋势。

Burkhardt公式仅适用于同心环空流动。将Burkhardt公式中的常数1.96用字母A 代替，其余参数不变。式（8）变为

当环空内外管尺寸和流体性质保持不变，流场从同心环空变为偏心环空时，只有常数A 与泥浆粘附系数Kc受到影响，其余参数保持不变。本文通过CFD 数值计算，得到不同环空比n 和偏心度e 对常数A 和泥浆粘附系数Kc的影响规律，将Burkhardt公式推广到偏心环空的情形。

3 数值模拟

取偏心环空内管直径dh为24.45cm，环空比n＝do／dh依次取值0.3、0.4、0.5、0.6，偏心度e＝2r／（dh－do），式中r为偏心距。e依次取值0.25、0.5、0.75、1.00，在Fluent中建立如图1所示模型。环空入口流速vi＝1.35 m／s，内管运动速度vp从0.4m／s到1.2m／s均匀递增。

图1 数值计算模型

由于模型中只是选取了套管下入时的井眼环空中的1段进行模拟，环空入口处随套管运动的部分流体并没有上返进入环空中，因而计算结束时，入口处截面上的平均流速会减小，这部分减小的流速即为由泥浆粘附力所造成的环空流速，用Δvi表示，则可用Δvi的变化代表泥浆粘附系数的变化。

式中：vil为计算后的入口截面平均流速。

假设同心环空中由泥浆粘附力所造成的环空流速为Δvic，偏心环空中的对应项为Δvie，根据式（9）偏心环空中的泥浆粘附系数可以表示为

式中：Kce为偏心环空中的泥浆粘附系数。

根据式（9）即可得到偏心环空中的平均流速。将不同偏心度下的和CFD 计算得到的环空波动压力psb代入公式（10）即可求得不同偏心度下的常数A。定义偏心环空中泥浆粘附系数和常系数与同心环空中对应参数的比值为ΔKc、ΔA。

4 计算结果分析

通过CFD 计算得到了不同偏心度与环空比条件下的波动压力与入口截面的平均流速，经过前面所述的计算即可得到不同环空比n和偏心度e 下的常系数A 和泥浆粘附系数Kce与同心环空下对应参数的比值ΔKc、ΔA。

如图2所示为环空比n＝0.6时同心环空中波动压力随套管下放速度的变化曲线。将本文数值模拟的结果与Burkhardt公式的计算结果相比，误差最大值为4%，说明本文的数值模型能够正确地模拟环空井眼压力波动。

图2 同心环空中波动压力随内管轴向速度变化曲线

图3给出了当环空比n＝0.6时ΔKc随轴向速度的变化曲线，当轴向速度从0.4增大到1.2时ΔKc变化很小，最大变化量为6%，可以认为在幂律流体偏心环空紊流流动中ΔKc不发生变化，这表明偏心环空流动中泥浆粘附系数Kc不随套管运动速度发生变化，这与同心环空流动［1］中的规律一致。

图3 ΔKc随内管轴向速度变化曲线

图4为ΔKc在不同的环空比下随偏心度的变化曲线。在不同的环空比下ΔKc随偏心度的变化趋势与波动压力相同，这表明泥浆粘附系数随偏心度的变化趋势与波动压力相同，这与同心环空中由Burkhardt公式得出的规律一致。

由图4可知：随着环空比的增大，环空中的波动压力增大，这与汪海阁［6］等人得出的层流理论的规律相同。同样，由图4还可以看出：在环空比较大时（n＝0.6），环空中的波动压力随偏心距的增大而减小，这与汪海阁［6］等人的结论是一致的。当环空比较小时（n≤0.5），波动压力随着偏心度的增大而呈现出先增大后减小的趋势，这与张艳娟［9］的试验结果一致。

图4 ΔKc随偏心度变化曲线

根据数值计算的结果所求得的不同环空比和偏心度下的ΔKc，ΔA 如表（1）～（2）所示。

表1 不同环空比和偏心度下的ΔKc

表2 不同环空比和偏心度下的ΔA

根据表1～2中的数据拟合出幂律流体偏心环空紊流流动中泥浆粘附系数Kc和常系数A 关于环空比n 和偏心度e的函数，即

根据式（10）、（13）、（14）可求得在任意环空比和偏心度下的幂律流体偏心环空波动压力。在环空比为0.76的条件下，利用Haciislamoglu［10］的公式对其进行验证，其结果如图5所示，最大误差为9%。

图5 波动压力随偏心度变化曲线

5 结论

通过CFD 计算得到了不同环空比和偏心度下的泥浆粘附系数和Burkhardt公式中的常系数，从而将Burkhardt公式推广到偏心环空的情形。数值模拟结果表明：当环空比n＞0.5时，幂律流体偏心环空紊流流动中的波动压力随偏心距的增大而递减；当环空比n≤0.5时，波动压力随着偏心度的增大而呈现先增大后减小的趋势，这与已有文献中的结论一致；最后，将得到的扩展Burkhardt公式的计算结果与文献中的结果进行了对比，误差＜9%，表明该公式能够有效计算幂律流体偏心环空紊流流动中的波动压力。

［1］郝俊芳.平衡钻井与井控［M］.北京：石油工业出版社，1992：1－33.

［2］李启明.适于水平井的波动压力预测新模型研究［D］.大庆：东北石油大学，2011：1－3.

［3］Burkhardt J A.Wellbore Pressure Surges Produced by Pipe Movement［J］.Journal of Petroleum Technology，1961，13（6）：595－605.

［4］汪海阁，苏义脑，刘希圣.幂律流体偏心环空波动压力数值解［J］.石油学报，1998，19（3）：104－111.

［5］贺成才.幂律流体偏心环空螺旋流计算机仿真［J］.钻井液与完井液，2005，22（5）：44－46.

［6］汪海阁，刘希圣.定向井倾斜井段环空中幂律流体的稳态波动压力［J］.油大学学报：自然科学版，1996，20（1）：29－33.

［7］刘希圣，崔海清.幂律流体在倾斜旋转内管的偏心环空中层流流动近似解法［J］.石油大学学报：自然科学版，1996，16（6）：29－34.

［8］王常斌，陈皖等.幂律流体偏心环空流场的CFD 模拟［J］.钻井液与完井液，2009，26（3）：62－64.

［9］张艳娟.幂律流体偏心环空螺旋流紊流的PIV 实验研究［D］.大庆：大庆石油学院，2007：45－47.

［10］Haciislamoglu M，Langlinais J.Non－Newtonian Flow in Eccentric Annuli［J］.J Energy Resources Tech，1990，112（9）：163－169.