“证明”学习提要

刘顿

一、 体会知识结构

二、 明确重点难点

重点：判断命题的真假，能写出一个命题的逆命题.

难点：通过对一些命题的分析进行推理与证明.

三、 理解知识要点

（一） 定义与命题

1. 对一些名称或术语的含义加以描述，做出规定，就是给出它们的定义.

详解：（1） 定义必须是严密的，要注意避免“一些”、“大概”、“可能”、“差不多”等含糊不清的词语，正确的定义要能把被定义的事物或名词与其他的事物或名词严格地区别开来.（2） 定义有不同的方式：① 词法定义：词法定义是描述一个词或者一个表达的意义，一般一个词法定义提供一个与原词相当的表达.如，两个意思完全相反的词是反义词.② 情境定义：情境定义也称上下文定义.有些词无法清晰地定义，但可以通过为所有这个词出现的句子提供一个解释来为这个词做一个定义.也就是说通过使用一个不出现这个词的句子来解释这个词在这个句子里的意义.③ 内涵定义：内涵定义是将一个物件与其他物件之间不同的所有特征列举出来.比如“所有小于20的质数的集合”是一个特定的集合的内涵定义.④ 外延定义：外延定义是描述一个概念或者词的外延，即所有这个概念或者词所包含的事务.（3） 给概念下定义的规则：① 应相等，即定义概念和定义概念的外延相等；② 不应循环；③ 一般不应是否定判断；④ 应清楚确切.如，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角就是对顶角；对顶角相等.前者是对顶角的定义，而后者则是对顶角的性质.

2. 命题：判断某一件事情的句子叫做命题.

详解：（1） 命题并不是数学所独有，凡是判断某一件事情的正确或错误的语句都是命题，即命题的基本特征就是判断.“判断”就是肯定或否定某种事物的存在或指明它是否具有某种属性的完整的句子，判别一个语句是不是命题，关键就是看语句中是否含有判断的意思，即命题重在“判断”，如“人是高等动物”，“对应角相等的两个三角形一定全等”等属于命题.反之，如果一个句子没有对某一事物做出任何判断，那么它就不是命题，如“你爱好什么运动？”等就不属于命题范畴.（2） 命题的组成：命题的组成，即命题的结构包括题设与结论.每个命题的题设是已知事项，结论是由事项推断出的事项.（3） 命题的形式：命题一般写成“如果……那么……”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论，有些命题的条件、结论不太分明，可先写成“如果……那么……”的形式，再找条件和结论.（4） 命题的分类：命题可分为真命题和假命题.正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题.如“直角都相等”和“相等的角都是直角”这两个命题中，前者是正确的，是真命题，而后者则是错误的，是假命题.

（二） 证明

1. 一些数学名词和正确的命题可以用来证实其他真命题的正确性，这些数学名词和正确的命题都是属于说理的依据.

详解：我们已经掌握的真命题作为基本事实的有：（1） 同位角相等，两直线平行.（2） 两直线平行，同位角相等.

2. 用推理的方法证实真命题的过程叫做证明.经过证明的真命题称为定理.

详解：（1） 已经证明的定理就可以作为推理的依据.（2） 要完成一个命题的证明，可有下列3个步骤：① 根据题意，画出图形，为了证明叙述方便，还要在图形上标出字母或符号；② 根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；③ 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.（3） 几何问题的证明一般离不开几何图形，若题设条件没有提供图形，则应根据题意自己画出图形，这时一定要注意所画出的几何图形应具有一般意义，具有代表性，而不能画出某个具有特殊意义的几何图形，这样不但容易出现误解，还会导致错误的结论.

（三） 互逆命题

1. 在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题，即其中一个命题称为另一个命题的逆命题.

详解：每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可以得到原命题的逆命题.但原命题正确，它的逆命题未必正确.如，对于真命题“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是直角”，此命题就是一个假命题.

2. 要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例.

详解：反例的列举必须符合实际，做到说理有根有据；而要证明一个命题是真命题，则需要依据公理等推理证明.