学习零、负整数指数幂的注意点

李长春

学习零指数和负整数指数幂时，要注意以下五点：

一、 法则的统一

在同底数幂的除法公式中规定m>n，当我们学习了“任何不等于零的数的0次幂都等于1，任何不等于零的数的-p（p是正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数”，关于同底数幂的除法法则，在a≠0，m、n都是正整数的条件下，可以统一为：

am÷an=am-n，（m>n）am-n=1，（m=n）am-n=■.（m

二、 底数a≠0

这是零指数和负整数指数幂的意义中规定的限制条件，我们也可以这样来理解：因为0不能做除数，所以0的0次幂和负整数次幂都没有意义.

例1 已知（x-1）0=|x|，求x的值.

解：根据0指数幂的意义知：x-1≠0，|x|=1.所以x=-1.

三、 负整数指数幂并非都是负数

由负整数指数幂的意义，可知：

1. 当a>0，p是正整数时，a-p=■>0.

2. 当a<0，p是正偶数时，a-p=■>0.

当a<0，p是正奇数时，a-p=■<0.

综合以上可知，只有负数的负奇数次幂才是负数.

例2 下列各数中：2-2，2-3，（-3）-2，（-3）-3，化简结果为负数的有几个？

解：2-2=■=■>0，2-3=■=■>0，（-3）-2=■=■>0，（-3）-3=■=■<0，因此化简结果为负数的有1个.

四、 科学记数法

用负整数指数幂知识可把绝对值较小的数用科学记数法来表示，其规律是：把一个绝对值小于1的数写成a×10-n的形式，其中1≤|a|<10，n是正整数时，n等于原数中左面第一个不是0的数字前所有0的个数，包括整数位上的0.

例3 用科学记数法表示下列各数：0.000 1，-0.000 002 05.

解：0.000 1=1×10-4；-0.000 002 05=-2.05×10-6.

五、 公式的推广

由于a-p=■=■p，即任何不等于0的数的-p（p是正整数）次幂，等于这个数的倒数的p次幂.简记为“底倒指反”，即底数取倒数，指数取相反数. 进一步我们还可以把■-p=■p（ab≠0，p是正整数），■-p=ap（a≠0，p是正整数）也作为公式，灵活运用这些公式可以快速解一类负整数指数幂的问题.

例4 已知a=■-2013，b=■2013，c=2 0130，试比较a，b，c的大小.

解：a=■-2013=■2013>1，b=■2013<1，c=2 0130=1，故a>c>b.

效果反馈：

1. 如果（x-2）x=1，则x=_______.

2. 计算：（1） 1-2013，（2） ■-1，（3） ■-3.

3. 已知a=2-333，b=3-222，c=4-111，试比较a，b，c的大小.

参考答案：1. x=0或x=3 2. （1） 1 （2） 3 （3） ■ 3. c>a>b