基于多重分形与奇异值分解的往复压缩机故障特征提取方法研究

赵海洋，徐敏强，王金东

往复压缩机具有结构复杂，激励源众多，部件运动形式多样等特点，其传动机构往往因为长期的摩擦、磨损造成轴承间隙故障，导致整机振动超标而停机，影响生产。往复压缩机故障诊断存在如下难点:①系统表现出复杂的非线性;②激励和响应具有非平稳特性;③故障信息传递路径复杂，相互干扰，彼此耦合。以傅里叶变换为基础的频域分析通常适用于平稳信号分析，在往复压缩机非平稳振动信号分析中存在着一定的局限性，很难对其进行准确的故障诊断［1－2］。

Mandelbrot提出的多重分形为信号分析提供了一种几何结构方法，在揭示复杂系统所表现出来的非平稳性和非线性具有独特之处。在分形理论中，分形维数可以定量地刻画混沌吸引子的“奇异”程度，定量描述非线性行为［3－4］。然而，单重分形特征只能对所研究对象作整体性的、平均性的描述与表征，广义分形维数则能更精细的刻画信号的局部尺度行为，可以全面反映信号的分形特性，更适用于复杂系统的非线性行为定量描述。往复压缩机振动信号表现出复杂的非线性、非平稳性，适用于多重分形方法对其进行特征描述。多重分形已在往复机械故障诊断研究中得到应用，文献［5］提出基于数学形态学操作的广义分形维数计算方法，并对发动机故障信号进行诊断分析。文献［6］应用振动信号时频域多重分形方法对往复式压缩机填料泄漏故障进行了实例分析，能够较好地区分故障的严重程度。

相比于单一传感器，多传感器可以增强数据可信度，扩展观测范围，尤其对于复杂系统，只对单个传感器信息进行分析，往往难以得出有效特征。因此，有必要对多传感器的信息进行综合分析，通过信息融合来实现特征提取与故障诊断。往复压缩机结构复杂，故障信息相互干扰，彼此耦合，利用多重分形方法对多传感器数据进行综合分析，形成多传感器广义分形维数矩阵，能更全面反映系统状态信息。

为了便于实现机器学习，通常特征向量是以列向量形式存在的。因此，需对多传感器广义分形维数矩阵进行降维压缩。奇异值分解(SVD)是一种矩阵正交化分解方法，矩阵的奇异值是矩阵的固有特征，具有良好的稳定性、比例不变性和旋转不变性，在数据压缩、信号处理和模式识别等许多方面都有广泛的应用。文献［7］对小波包变换系数矩阵进行奇异值分解，依据矩阵奇异值，定义了振动信号特征参数。文献［8］采用奇异值分解分析滚动轴承振动信号经EMD分解形成的矩阵，提取奇异值作为滚动轴承振动信号的故障特征向量。

本文应用多重分形理论分析多传感器振动信号，形成广义分形维数初始矩阵，利用奇异值分解进行矩阵降维压缩，提取矩阵特征值作为特征向量。将其应用于往复压缩机传动机构故障诊断，实现多位置轴承间隙故障的特征提取与诊断识别。

1 基于多重分形与奇异值分解的特征提取方法

1.1 多重分形

多重分形是定义在分形结构上由多个标度指数的奇异测度构成的无限集合。它用一个谱函数来描述分形不同层次的特征，即刻画的是分形测度在支集上的分布情况。

对于多重分形应用盒计数法，把研究对象划分为N个不同的区域(i=1，2…N)，设区域尺度的大小为δ，考虑各个盒子内不均匀分布的物理量用概率分布表示:

其中:αi为第i个盒子中的Holder指数(标度指数)。

定义配分函数χ(q，δ)，对概率用q次方进行加权求和，其数学表达式为:

如果配分函数和δ有幂函数关系，则可从lnχ(q，δ)～lnδ曲线的斜率得到:

式中:τ(q)称为质量指数。

对每个q值，利用最小二乘法拟合估算双对数曲线 lnχ(q，δ)～ lnδ，即可得到 τ(q)和 q 的关系。质量指数τ(q)和描述多重分形的广义分形维数D(q)有如下关系:

即:

因此，得到描述多重分形的一套参数为广义分形维数谱D(q)－q。它既可用于简单分形，也可用于多重分形，当q=0时，D(q)为盒维数，当q=1时，D(q)为信息维数，当q=2时，D(q)为关联维数。

1.2 奇异值分解

在矩阵理论中，奇异值是矩阵的固有特征，具有较好的稳定性，能有效地反映矩阵的特征。奇异值分解定理为:对于一个实矩阵 A∈Rm×n，不管其行列是否相关，必定存在正交矩阵U∈Rm×m和正交矩阵V∈Rn×n，使得下式成立:

式中:S 是对角阵，可表示为 S=diag(λ1，λ2，…，λk)，k=min(m，n)，λ1，λ2，…，λk为矩阵 A 的奇异值并按降序排列。

1.3 特征提取方法

广义分形维数能更精细的刻画信号的局部尺度行为，在揭示复杂系统所表现出来的非平稳性、非线性等特性方面具有独特之处。对于复杂系统，只对单个传感器信息进行分析，往往难以得出有效特征，而多传感器可以增强数据可信度，扩展观测范围，更能全面反映系统状态信息。

往复压缩机具有复杂的非线性和非平稳性，且故障信息传递路径复杂，基于多传感器的多重分形方法，形成多传感器广义分形维数矩阵，可有效结合多重分形法对非线性定量描述的细致性和多传感器观测范围的扩展性，全面细致的反应往复压缩机运行状态。

奇异值分解(SVD)是一种矩阵正交化分解方法，可对多传感器广义分形维数矩阵进行奇异值分解，得出矩阵的奇异值作为特征向量。由于奇异值是矩阵的固有特征，具有良好的稳定性，所以，奇异值特征向量与故障状态具有一一对应的映射关系，是往复压缩机运行状态的准确反映。因此，提出基于多重分形与奇异值分解的多传感器特征提取方法，具体计算过程如下:

(1)数据预处理。对初始数据进行截取与降噪等处理，降低计算工作量以及噪声对谱值的影响。

(2)计算各传感器的广义分形维数。用尺度为δ的盒子对分形集进行划分，定义每个盒子的奇异概率测度pi(δ)及配分函数 χ(q，δ)，对于给定的 q值，计算并绘制相应的lnχ(q，δ)～lnδ双对数曲线，找出曲线的无标度区，用最小二乘法拟合估算出该段曲线的斜率即质量指数τ(q)，通过式(4)变换即得广义分形维数谱 D(q)－q。

(3)构成初始特征矩阵。根据各传感器的广义分形维数，以各传感器广义分形维数为行向量，按传感器编号排列，形成初始特征向量矩阵A，表示为:

矩阵中，M表示广义分形维数谱的维数，N表示传感器编号。

(4)特征向量提取。利用奇异值分解理论，对广义分形维数矩阵A进行奇异值分解，取对角阵S上的部分或全部对角元素 λ1，λ2，…，λk作为特征向量，即:

T= ［λ1，λ2，…，λk］。

即可对广义分形维数谱矩阵进行降维压缩，实现故障特征向量的提取。

2 往复压缩机故障诊断

2.1 故障试验研究

以大庆天然气分公司2D12型双作用对动式往复压缩机为研究对象。其主要参数为:轴功率500 kW、排气量 70 m3/min、活塞行程 240 mm、电机转速 496 r/min。试验过程中，分别在压缩机传动机构两级连杆的小头轴承、大头轴承共四个位置模拟了间隙大故障。此外，为获得机组正常状态数据样本还对正常运行的压缩机组进行现场测试。根据压缩机结构特点，在曲轴箱正面、上端和右端，各级气缸盖侧，各级十字头滑道下端共7个故障敏感部位设置测点，利用加速度传感器测试压缩机振动信号，测点布局如图1所示。同时，在曲轴箱输入轴飞轮处利用光电传感器采集键相信号。数据采集系统选用北京东方所的INV306U－6660多通道智能数据采集仪，采样时间4 s，每一工况下等时间间隔采样100次，鉴于往复压缩机激励源众多，运行过程中会产生高频振动成分，采样频率设置为50 kHz。

图1 往复压缩机测点布局Fig.1 Distribution of reciprocating compressor measurement points

2.2 信号预处理

根据采样时间和电机转速可知，一次采样采集了多个工作周期的振动信号，由于各周期信号的相似性，过多的数据仅会增加计算量，不会对多重分形谱有显著影响。因此，利用与多通道振动信号同步采集的键相信号，提取两个周期的振动信号数据进行分析，其数据长度为12 028点。

众所周知，噪声会影响分形维数的大小，使其无法准确的反映系统的多重分形特征。为了降低噪声干扰，应用小波阈值降噪法对往复压缩机振动数据进行预处理，具体采用db4小波母函数，三层分解，启发式软阈值降噪法。其中，一级十字头滑道测点一级连杆小头间隙大故障振动信号的处理结果如图2所示。

2.3 故障特征提取

对各工况每个传感器的振动信号进行截取与降噪，根据多重分形定义，在q取值范围－10至10间计算广义分形维数D(q)，即可形成21行7列的广义分形维数矩阵。每种工况的广义分形维数矩阵可以通过广义分形维数D(q)、q和传感器编号N组成的3维谱图来表示，各工况的典型3维谱图如图3所示。

由图3可知，虽然各工况同属轴承间隙大这一性质故障，但随着故障发生位置的不同，振动信号的传递途径也不同，所以广义分形维数矩阵存在明显差异;再者，对于任意两种不同工况，随着q的不同，同一传感器广义分形维数差异明显，体现了多重分形刻画局部尺度的细致性;此外，对于任意两种不同工况，多个传感器广义分形维数差异显著，体现了多传感器观测的必要性。

图2 一级连杆小头间隙大故障降噪前后时域信号Fig.2 Time-domain signal before and after noise reduction for fault of first connecting rod small end with large clearance

图3 各工况3维谱图Fig.3 3D Spectrum of each state

对广义分形维数矩阵进行奇异值分解，提取奇异值，虽然噪声使矩阵全部奇异值均大于零，但从量级比较，矩阵的前4阶奇异值差异较大，所以取矩阵的前4阶奇异值作为故障特征向量。不同位置故障及正常工况的典型特征向量如图1所示，由图1可知，各工况特征向量曲线无交叉，间隔大，具有明显可分性。

图4 各故障状态典型特征向量Fig.4 Typical feature vector for each fault condition

2.4 故障诊断与分析

支持向量机(SVM)是以统计学习理论为基础发展而来的一种通用机器学习方法，已在模式识别、回归估计、概率密度函数估计等方面得到广泛应用。LibSVM是由台湾林智仁副教授开发的SVM工具包，它集成了参数寻优、模型训练和结果测试等功能［9］。

对于SVM，核参数和误差惩罚参数C是影响其性能的主要因素。本文使用广泛应用的径向基核函数，具体形式为:K(x，xi)=exp{－γ‖x－xi‖2}，其中，核参数为γ。选取上述五种工况测试数据各100组，经截取和小波阈值降噪后利用多重分形和奇异值分解计算得出特征向量样本。分别以每种工况的70组特征向量作为训练样本，30组特征向量作为测试样本。应用LibSVM的遗传算法对参数进行优化并建立支持向量机，优化结果为差惩罚参数 C取1.83，核参数 γ取3.55。对各工况测试样本进行识别，结果如表1所示。

为检验该方法的有效性，同样选取上述五种工况样本100组。首先，计算每组样本中各传感器振动信号的单重分形指标关联维数作为特征向量，分别以70组特征向量作为训练样本，另外30组特征向量作为测试样本，建立支持向量机并进行诊断测试。再者，所有工况各取一组样本，计算每种工况各个传感器的广义分形维数，对于某一工况，以各传感器在正常工况与故障工况下广义分形维数的最大欧氏距离作为评价指标，选出对故障最敏感的传感器，以其广义分形维数作为该故障的单传感器特征向量，采用同样方法建立支持向量机并进行诊断测试。各方法诊断的识别准确率如表1所示。

由表1可知，各种特征提取方法均可实现不同位置故障的识别，但由于多重分形在局部尺度描述的细致性以及多传感器在数据获取的扩展性优势，基于多重分形与奇异值分解方法不但在总体识别准确率高于多传感器单重分形法和单传感器多重分形法，而且各工况的识别准确率均为最高，识别效果最好，验证了该方法的优越性。

表1 各方法故障诊断准确率比较Tab.1 Comparison of fault diagnosis accuracy for each method

3 结论

(1)多重分形适用于复杂系统的非线性行为定量描述，多传感器数据采集能更全面反映系统状态信息。以此，提出了一种基于多传感器广义分形维数矩阵与奇异值分解压缩的故障特征提取方法。

(2)将该方法应用于往复压缩机传动机构多位置轴承间隙故障的特征提取，不同工况的特征向量可分性明显，实现了故障的准确诊断。

(3)通过建立支持向量机进行比较分析，该方法相比于多传感器单重分形关联维数法和单传感器多重分形法，更能全面地反映设备状态特征，识别效果更好，为往复压缩机故障特征提取和故障诊断提供了一种新途径。

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