郑金
若在竖直平面内从某一固定点以相同的初速率 、不同的抛射角发射质点,则各运动轨迹组成抛物线族,如果有一条光滑曲线处处与这些抛物线相切,这条曲线就是此抛物线族的包络线,也是一条抛物线。抛物线族中所有的抛物线都不会越出包络线所界定的边界线,也就是说不论怎样调整抛射角,都不能击中包络线以外的目标,因此把包络线称为安全抛物线。
1 方程推导
1.1 问题。在夏季从地面向云层发射防雹炮弹,初速度为v0,若忽略空气阻力和重力加速度变化的影响,求炮弹所能达到区域的边界方程。
1.2 分析。以抛出点为坐标原点,水平分速度方向为x轴方向,竖直向上为y轴方向,建立直角坐标系,沿坐标轴方向分解斜上抛运动,其位移分别为x=v0cosθ·t
可变形为关于tanθ的一元二次方程,
即(gx2)tan2θ-(2v20)tanθ+(2v20+gx2)=0。
这是所有符合条件的抛物线方程,可分两类,一类不跟包络线相切,其上各点都对应两个θ ;另一类跟包络线相切,由于切点不可能是两条抛物线的交点,因此切点只对应一条抛物线,即对应唯一一个 θ。
同时,方程还表示所有抛物线上各点的集合,这些点分两类,一类在包络线之内,各点对应两个不同的θ;另一类是边界点,在包络线上,是切点的集合,所以安全抛物线上各点分别对应唯一的抛射角θ。
关于tanθ的一元二次方程应该有实数解。而且只要满足θ取单值的条件,对应的各点就在包络线上,仅当判别式为零时,二次方程有单根,各点P(x,y)为切点,组成一条包络线。可得到包
对于包络线方程,当抛射速度确定时,若x确定,则y取最大值;若y确定,则x取最大值。而当某点确定時,则抛射速度取最小值。
2 方程应用
例1 在倾斜角为θ的斜面底端向斜面上抛出物体,初速度为v0,当抛射角a为多少时,落点最远?其值为多少?
解析 以抛出点为坐标原点,