善用模型思想，巧解数学问题

尹志伟

【摘 要】模型思想是《义务教育数学课程标准（2011年版）》中新增加的一个核心概念。在义务教育阶段的数学中，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式，及各种图表、图形等都是数学模型。通过数学建模教学，既可以培养学生的数学应用意识、巩固学生的数学方法，又可以培养学生的创新意识以及分析和解决实际问题的能力。

【关键词】模型思想 数学应用意识 培养初探

作为数学的基本思想之一，模型思想是《义务教育数学课程标准（2011年版）》中新增加的一个核心概念。

一、如何理解模型思想

《标准（2011年版）》对模型思想的说明是：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。”从数学教育的角度来看，建立模型思想本质上是帮助学生体会数学与外部世界的联系，而培养学生模型思想的基本活动就是建立模型。从广义的角度看，一切数学的概念、原理和数学的理论体系，都视为数学模型；就其狭义而言，是指能描述或反映特定问题或具体事物关系的数学结构。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题的数量关系和变化规律，求出结果，并讨论结果的意义。这说明模型思想的应用包括三大步骤：从现实到数学模型——从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，寻找相关的数学关系，建立数学模型；处理数学模型——求解模型的数学结果；得到原问题的结果——讨论结果的意义，检验结果的适切性。

二、初中数学教学中常见的几种模型

随着数学教育界“数学应用意识”的不断深入，提高数学应用性的教育迫在眉睫。数学应用性包括两个层次：一是数学精神、思想和方法；二是数学建模。数学建模教学，既可以培养学生的数学应用意识、巩固数学方法，又可以培养学生的创新意识以及分析和解决实际问题的能力。初中阶段常见的模型有方程（组）模型、不等式模型、函数模型、几何模型和统计模型。

1.方程（组）模型

方程（组）是研究现实世界数量关系最基本的数学模型，求解此类问题的关键是：针对给出的实际问题，设定合适的未知数，找出等量关系，求出结果。

2.不等式模型

现实世界中不等关系是普遍存在的，许多现实问题很难确定具体的数值，但可以求出或确定问题中某个量的变化范围，从而对所研究的问题有比较清楚的认识。

例：某商品的售价是528元，商家出售这样的商品可获利10%～20%，设进价为x元，则x的取值范围是 。

3.函数模型

新课标要求学生能用函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系变化，结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测，能用一次函数、二次函数等来解决简单的实际问题。学习了正、反比例函数、一次函数和二次函数后，学生头脑中已经有了函数模型。因此，一些实际问题可以利用函数模型解决。

其实，我们也可以把方程（组）模型、不等式模型和函数模型统称为代数模型，它们往往紧密关联。

例：为了援助失学儿童，李明从2012年1月份开始，每月一次将相等数额的零用钱存入已有部分存款的储蓄盒内，准备每6个月一次将储蓄盒内存款一并汇出（汇款手续费不计）。2月份存款后清点储蓄盒内有存款80元，5月份存款后清点储蓄盒内有存款125元。

（1）在李明2012年1月份存款前，储蓄盒内已有存款多少元？（2）为了实现到2015年6月份存款后存款总数超过1000元的目标，李明计划从2013年1月份开始，每月存款都比2012年每月存款多t元（t为整数），求t的最小值。

【分析】本题综合考查学生应用方程组和不等式解决实际问题的能力。

4.几何模型

在日常生活中，诸如台风、航海等传统的应用问题，常需要建立相应的几何模型，需要转化为几何或三角函数问题求解。重点谈两个经典的几何模型。

（1）用勾股定理列方程的模型。

在直角三角形中，已知边的关系时，经常可以借助勾股定理列方程，模型思想在简单问题中学生处理起来往往得心应手，但在设计精巧的问题情境中，学生普遍表现出思维混沌，束手无策。

5.统计模型

在当前的经济生活中，统计知识的应用越来越广泛。而数学建模思想的应用在统计学方面得到很好的体现。新课标明确提出体会用样本估计总体的思想。统计与概率是数学在生活、生产中应用的重要方面。在教学中应注重所学内容与日常生活、自然等领域的联系。

三、如何培养学生的模型思想

培养学生的模型思想，提高学生的建模能力，让学生善于把实际问题、数学问题进行合理有效的转化，需要教师有意识地长期对学生进行启发、引导、点拨和不断地探究、反思，经过思维碰撞、纠错磨练。

1.让学生在循序渐进的学习中感悟模型思想。

学生感悟模型思想需要经历一个长期的过程。数学建模必须结合学生实际水平分层次逐步推进，与正常教学内容同步。教学过程中要让学生循序渐进，逐步提高。

2.使学生经历“问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动过程。

“问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动过程体现了课标中模型思想的基本要求，也有利于学生在活动过程中理解、掌握有关知识与技能，积累数学活动经验，感悟模型思想的本质。这一过程更有利于学生去发现、提出、分析和解决问题，培养创新意识。

（1）精选例题，倡导有效示范。

数学教师应善于思考，在备课时做个有心人，在教学设计时应该精选一些有代表性的、典型的建模题材作为主要的教学内容。通过具体问题的建模示例，介绍建模的思想方法，能起到较为深刻的教育意义和作用。 同时也可兼顾一些趣味性和创新性，在具体选取案例时，可选择有趣又能培养学生的创新精神和创造能力、充分体现数学建模思想的案例。

（2）提升业务，促进建模教学。

在数学建模教学中，教师是关键。教师水平的高低直接决定着数学建模教学能否达到预期的培养学生能力的目的。我们的教师应该有主动发展的需求，多参加各种学术会议、到名校去做访问学习等等，更应该通过各种渠道和方式，了解模型思想教学发展前沿的新趋势、新动态。另外数学教师还必须更新教育理念，不断积累和更新专业知识，其中包括较宽广的人文和科学素养。数学教师只有不断创新，努力提高自身素质，才能适应新的形势，符合时代发展的要求。

（3）互相渗透，重视思想方法。

数学思想方法必须以一定的数学知识和技能为基础，又能促进知识的深化及能力的形成。在初中数学模型思想教学的过程中，必须加强数学思想方法的渗透和强化，使它们相辅相成，融会贯通。相对而言，数学思想方法主要抓以下几个：化归思想、整体思想、变换思想和数形结合思想。在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，各种思想方法都有很好的应用。因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及多种思想方法的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用。

【参考文献】

[1]义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]朱海峰，夏建平.全国中考试题归类精选·数学[M].福建：福建少年儿童出版社，2012.

（作者单位：江苏省无锡市崇安区教育局教研室）