口算学习：磨砺思维的重要平台

冯桂群

2011版的《数学课程标准》中特别强调了课程内容组织时要处理好的三个关系，即“要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系”。[1]在日常口算教学中，如何处理好以上的三种关系，让学生在直接经验的基础上，经历算法的建构过程，抽象概括出具有普遍意义的口算模型，同时又能提升数学思维能力，从而在口算教学中落实数学基础知识、数学基本技能、数学活动经验和数学基本思想的四基目标呢？下面结合苏教版一年级的口算教学谈谈笔者在这方面的探索。

一、 在有序分层的动手操作中实现由直观算理到抽象算法的提升

苏霍姆林斯基曾说过，儿童的智慧在他的指尖上。动手操作是新课改积极倡导的学习方式。笔者以为，小学数学学习中的动手操作，不仅包括动手摆弄实物、比划手势、活动肢体的学具操作活动，还包括借助于符号、文字和图表等数学语言动手画图、画批、列表、列举、摘录、列算式、写关系式等逐步抽象化的语言操作活动。借助于摆弄学具到组织语言的有序过渡，或在语言操作中由直观的画图到抽象的画批、列式等的逐层展开，可以高效地帮助学生跨越从形象到抽象的思维障碍，实现由直观算理到抽象算法的有效联结与及时提升。

如教学苏教版一年级下册的“两位数加整十数、一位数的口算”，有教师在教学了45+30后，立刻要求学生“脱离计数器，利用头脑中建立的表象支撑进行口算”。因为“从‘拨珠计算到直接口算，思维的难度发生了‘飞跃”， [2]学生的计算必然受阻。如何解决这一问题呢？我并没有先让学生练习“拨珠计算”到熟练化、自动化的程度，再想象拨珠过程，最后抽象地直接口算。练习拨珠计算到熟练程度是要花费大量时间的，还要每人准备计数器，成本太高，效率太低。我引领学生经历了一段循序渐进而又简约高效的内化历程，具体如下：

第一，先让学生观察算式30+4，想象小棒图，然后在四人小组里用手势合作比划出30和4（3双合掌的小手，加伸出的4个手指，这比摆小棒省事有效多了），算出结果是34。再出示30+40，让学生在头脑中想象出是几捆小棒加几捆小棒，之后与教师同步用食指在空中画出想象的小棒图，算出结果是70。最后借助画拨珠过程和画线批注，进一步明确这两个算式的各自算理与不同点，即：+4表示加4个一，所以在30的个位上再添4个珠子，+40表示加4个十，所以在30的十位上再添4个珠子，从而为后面较复杂的口算学习做好了算理、算法及策略等方面的准备。

第二，教学45+30时，仍采用上面的想象、画图、拨珠、画批、说思路流程，先让学生看算式想小棒图，然后师生共画（比划）小棒图，观察拨珠过程，之后在算式旁用符号画批口算思路，最后让学生具体说出口算思路。

第三，让学生用同样的方法自主计算45+3。在对比45+30和45+3的不同点时，结合画批的弧线追问：45+30中的30表示3个什么？（3个十）所以要跟45哪一位上的数相加？（十位）如果是45加3呢？

第四，在之后的巩固练习中，学生根本不需要直观操作的支撑，除极个别思维水平较差的学生需要借助详细画批来口算外，其余学生只要用弧线将几十和几十连线（两位数加整十数），几和几连线（两位数加一位数），再说思路，就会做了。

借助做手势、想小棒图、画小棒图、画计数器、符号画批等有序分层、逐步抽象化的动手操作和动口表述活动，教师不着痕迹地引领学生完成了直观算理与抽象算法之间的及时联结和有效推进，达到了事半功倍的效果。可以说，以上由直观到抽象的操作过程是流畅而完美的，是助推学生的思维拾阶而上的脚手架，哪一步都不能少。而其中抽象的符号画批与口头表述是思维活动发生质变的关键因子，是学生能顺畅地掌握抽象算法的外在行为表征，也是实际教学中教师急需引起重视的学习途径。

二、 在建构与迁移结构化的口算模型中实现数学思维的生长和数学思想的渗透

布鲁纳说过：“获得知识如果没有完美的结构将它联系在一起，那是一个多半会被遗忘的知识。一串不连贯的结论在记忆中仅有短促的可怜的寿命。”在数学学习过程中，我们非常重视引导学生将知识点连成线，知识线结成网，知识网联成片，最终构建成知识大厦。口算内容之间同样具有较强的系统性、连贯性，新知识往往是旧知识的延伸与组合，利用结构的相似性可以很好地促进学生进行知识、方法及策略的正迁移，促进数学知识与思维的自主生长，巧妙渗透转化、数形结合、抽象推理建模等数学思想。

如教学9加几的进位加法（如9+6），我引领学生看小棒图想算法、标注思路明算理，着重让学生掌握凑十法的思路与符号表征。之后，我引导学生将表示凑十法的思路简化，如9+6的思路由图1简化为图2。因为学习过程就是要经历由繁到简、由多到少、由慢到快的过程。这样学生就能方便快捷地表示出凑十法的思路，更好地巩固相应的算理与算法，强化9加几的进位加法与连加算式9+1+（ ）之间的内在联系。同时，我还带领学生将抽象的口算过程用手势操作表示出来。如计算9+6，9记心上，用手指比划出6，弯下一个手指表示1与9凑十，剩5就是15。上课结束前，带领学生边做手势边报算式，从9+2算到9+9，学生特别有兴致。

由于有了对“9加几”这节课的深耕细作，之后的8加几、7加几等等口算，学生就能完全自主顺畅地将凑十法的思路迁移过来，探讨出相应的算理与算法，画图、做手势和画批思路等策略也越用越熟练。

同样，在学生学习一年级下册的20以内的退位口算以及两位数加减整十数或一位数的口算中，我都有意识地引领学生借助于做手势、想小棒图、画小棒图、画拨珠图、画批口算思路、口述思路等由直观到抽象的操作方式来理解算理、掌握算法，并引导学生建构了前后统一的、极具迁移性的思路画批模型。如，计算两位数加减整十数和没有进退位的两位数加减一位数，借助于画弧线突显口算思路，同时也渗透了“相同数位上的数相加减”的位值原则，为后面列竖式时的数位对齐打下伏笔。而在学习难度较大的两位数加减一位数的进退位口算时，我引领学生建构了画2弧、写2数的画批思路，既与之前的画批思路保持了一致性，又有了新的拓展，很好地训练了学生的有序思维能力与符号表征能力。

有了教师对口算教学在结构关联、系统思维等方面的整体策划，学生所学的知识、方法与策略就有了迁移与生长的力量，为后续学习做了充分的准备与渗透，从而使学生在“主动发展的意愿、结构迁移的能力、研究方法的把握、思维品质的提升、思想文化的感悟以及我们数学学科独特的思维方式的形成”[3]等方面都有了明显的进步。

三、 在分享互动的对话中实现算法多样与算法优化的兼得

由于学生生活经验、认知水平和思维方式的不同，其算法肯定是多样的，而且不同算法之间还存在不小的差距，有的算得巧，有的算得繁，有的算法有特殊性，有的算法有普遍性，有的算法直观性强，有的算法比较抽象。借助于独立思考之后的互动与对话，不仅可以让学生分享到他人的思维成果，拓宽思维的视野，感受算法的多样性，还能在倾听、对比、选择、吸纳中理解同伴的算法，改造自己的算法，实现算法的优化，培养开放思维和聚合思维能力。

如教学十几减9的例题：13-9，学生在独立思考后进行对话交流，一共交流了以下6种算法：

想加算减法：9+（4）=13，13-9=4；

多减了加，13-10=3，3+1=4；

连减法，13-3=10，10-6=4；

破十法：10-9=1，3+1=4；

联想法：12-9=3，13-9=4；

做手势倒着一个一个地数数：伸出9个手指，从13起倒着数数，弯下一个手指就倒数一下，依次是12、11、10、9、8、7、6、5、4。

学生的出色表现让我十分欣喜，我当场让大家给发言的学生送去热烈的掌声，同时又启发大家说说更喜欢哪一种方法，为什么？在各抒己见的平等交流中，大家比较认同想加算减法和破十法，因为9加几的进位加法上学期就学了，加法算熟了，很容易想到相应的减法，而破十法中，10-9=1，口算时只要用1加上减号前面那个数（被减数）个位上的数就行了，也算得很快。在举手表决更喜欢破十法还是想加算减法时，人数几乎各占一半。我发现，9加几的口算已练得很熟的学生，大多喜欢想加算减，而9加几口算不熟的学生则喜欢破十法。在算法优化中，我尊重了学生的选择，没有强求统一用破十法或是想加算减。而对于班上极少数仍处于动作思维水平的数学潜力生，我则允许或鼓励他们借助于比划手势来计算，当手势做多了，在头脑中生成了相应的表象，他们也就懒得再拨弄手指了。毕竟，最适合的才是最好的。算法多样与算法优化同样要遵循学生的认知规律，确立真正的“儿童立场”。

四、 在开放性的口算情境中培养数学思维的灵活性与创新性

情境教育的创始人李吉林老师说，教育就是要将不太聪明的孩子教聪明，让聪明的孩子学得更聪明。那什么才是聪明、富有智慧的表现呢？有人认为，智慧就是在具体情境中的游刃有余，即能够对各种问题情境作出相应的准确判断，并能根据各自的具体情境选择恰当、合理的方法灵活地解决问题。在口算学习中，只能说有一般算法与特殊算法之分，而没有什么最简便算法，因为在这种情况下这样算比较方便，到另一种情形中可能又有所改变。所以，在学生掌握了基本算法并了解了多样化算法之后，要有意识地创设开放性的口算运用情境，让学生学会灵活地运用所学算法方便快捷地解决实际问题，提高口算思维的灵活性与创新性，培养创新思维和实践运用能力，渗透辩证地看待问题的思维方式。

如在十几减9的练习课上，当完成了练习一的第2题后，我要求学生仔细观察并发现其中的规律。通过横向、纵向及整体观察后，学生发现减号前面的数越大，结果也越大；减号前面的数越小，结果也越小；单数—单数=双数，双数—单数=单数；结果比第一个数个位上的数多1等等。这时，班上曾被评为创造之星的小洲突然惊喜地叫起来：“老师，我还发现，计算十几减9，只要将最前面数的两个数字加起来就行了，11-9，11个位和十位上的数字1和1加起来是2，结果就是2。”大家一听，顿时眼前一亮，迫不及待地用小洲的算法计算第二题的其他题目，如：16-9=1+6=7，18-9=1+8=9，结果都是正确的。看到学生还想好好算一把，教师就鼓励他们用小洲的算法完成书上的第4题。有了神奇算法的帮助，大部分学生不到半分钟就算出来了。在交流时，我让学生从中找出不适合用小洲算法的题目，并追问为什么？（9-9=0，19-10=9，因不是十几减9）之后又启发学生深入地思考：这样巧合的算法为什么只适用于十几减9？在互相启发与交流之后，学生最终明白了：这是破十法的简算法，11-9，先用10-9=1，这个1与十位上的数字1正好相同，就可以借用十位上的1，加上个位上的1。所以这一算法只能用在十几减9中。我顺势启发学生：那11减8，该用几加上前面个位上的数呢？减7呢？借助10的分成及合情推理，学生很快找到了答案，减9、8、7、6、5、4、3、2、1，只要用前面数个位上的数加1、2、3、4、5、6、7、8、9。当我顺势把答案写下来之后，思维敏捷的小宁又有了新的发现：11-2可以变成11-1-1，这样算得更快；而11-1，直接用个位上的1去减，不要自找麻烦。大家对小宁的发言非常赞同，真切地体会到口算方法运用的灵活性与巧妙性，很好地培养了开放情境中的应变力。

总之，只要教师能参透口算知识的本质内涵，遵循学生的认知规律，创造性地优化教法与学法，学生就一定能在算法模型的建立与运用过程中培养口算技能、发展数学思考、积累数学活动经验、感悟数学思想、提升数学素养，真正实现新课标中的四基目标。

参考文献

[1] 义务教育数学课程标准（2011年版）.北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 李建梅.跨越从形象到抽象的思维障碍.教育研究与评论，2012（4）.

[3] 吴亚萍.在教学转化中促进学生素质养成.人民教育，2012（10）.