一道北约试题推广

汤恒锦　何长林

摘 要：本文对一道涉及三角形的幂平均值不等式试题进行了推广，得出一个全新的结论。

关键词：三角形；幂平均值；不等式；推广

题目：△ABC中，如果a+b≥2c，证明：C≤60°。

（2011年北大等十三校联考（北约）自主招生数学试卷第4题）

证明：因为cosC=≥=≥-=， 所以C≤60°，故得证。

笔者经过研究，发现本题结论可以推广为：

定理：△ABC中，如果an+cn≥2bn（n∈Z），则B≤60°，其中a，b，c表示△ABC中角A，B，C的对边。

先证明定理1：△ABC中，如果an+cn=2bn（n∈Z），则B≤60°，其中a，b，c表示△ABC中角A，B，C的对边。

下面我们证明：当n≠0时，△ABC中，如果an+cn=2bn，则B≤60°，其中a，b，c表示△ABC中角A，B，C的对边。

在证明此命题之前，我们先引进三个引理。

引理1：若a>0，b>0，r1≠0，r2≠0，则有和幂平均不等式

（参见 周金峰 谷焕春 《关于幂平均值的两个不等式》 数学通讯 2004。7）

引理2：用a，b，c表示中△ABC角A，B，C的对边，则2b≤a+c的充分必要条件是2sinB≤sinA+sinC。

证明：①必要性。

由正弦定理知

故有a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC。

将上式代入2b≤a+c，

得2sinB≤sinA+sinC。

②充分性由上述过程知也成立。

由正弦定理知

故有sinA=，sinB=，sinC=。

将上式代入2sinB≤sinA+sinC，得

即2b≤a+c。

综合①②故得证。

引理3：△ABC中，若2sinB≤sinA+sinC，则B≤60°。

证明：由引理2知2sinB≤sinA+sinC的充分必要条件是2b≤a+c（其中a，b，c表示△ABC中角A，B，C的对边），

又因为B为三角形的内角，所以B∈（0°，60°]，所以得证。

现在我们来证明当（n∈Z）时，△ABC中，如果an+cn=2bn，则B≤60°，其中a，b，c表示△ABC中角A，B，C的对边。

证明：因为2bn=an+cn，

由引理3可以知B≤60°，故得证。

下面我们来证明定理

定理：△ABC中，如果an+cn≥2bn（n∈Z），则B≤60°，其中a，b，c表示△ABC中角A，B，C的对边。

证明：因为an+cn≥2bn，

所以sinB≤（由引理2）。

由引理3可以知B≤60°，故得证。

应用：在△ABC中a，b，c表示△ABC中角A，B，C的对边，若an，bn，cn（n∈Z）成等差数列，求sin（A+C）的取值范围。

解：因为an，bn，cn成等差数列，

所以B≤60°，

所以120°≤A+C<180°，

所以0