反思出巧解

宋茂华

摘 要：学生对上课的内容表现出不理解，教师就要及时做好反思，反思是一个教师快速成长的一种很好的途径。 本文结合一道高三模拟题的讲评及教后反思，说明了对数学归纳法的本质的认识。 进一步得到：通性通法就是扎根于学生的知识的最近发展区，从核心概念出发，易于理解的常规方法；通过反思，教师、学生的理解力能从一个水平升华到更高的水平。

关键词：反思；数学归纳法；通性通法；理解力

问题：已知n个正数a1，a2，a3，…，an（n∈N*）满足a1a2a3…an=1，用数学归纳法证明：a1+a2+a3+…+an≥n。

这是2012年南通市通州区高三期中调研测试一道试题，参考答案如下：

①当n=1，a1=1，a1≥1显然成立；

②假设n=k时命题成立，即若a1a2a3·…ak=1，则a1+a2+a3…+ak≥k，那么当n=k+1时，不妨设a1≤a2≤a3≤…≤ak≤ak+1，则a1-1≤0，ak+1-1≥0，

（a1-1）（ak+1-1）≤0，即a1+ak+1≥a1ak+1+1，a1+a2+a3+…+ak+ak+1≥

（a1ak+1）+a2+a3+…+ak+1≥k+1。 所以原命题成立。

笔者觉得怎么想到先将k+1个数重新按照从小到大的顺序排列，a1≤1，ak+1≥1，将a1与ak+1合并为一项，再利用归纳假设。 思路突然，技巧性太强，学生一头雾水。 数学教育学家弗赖登塔尔说过：“反思是数学思维活动的核心和动力，没有反思，学生的理解就不可能从一个水平升华到更高的水平。” 数学试题的讲评应引导学生关注通性通法，何谓通性通法？笔者认为通性通法就是扎根于学生的知识的最近发展区，易于理解的常规方法；是对数学知识最高层次的概括与提炼。 笔者反思：数学归纳法的本质是什么？即如何由n=k命题成立，推证n=k+1时命题成立。 也就是由假设n=k命题成立，a1a2a3…ak=1，则a1+a2+a3…+ak≥k，推证n=k+1时，a1a2a3…akak+1=1，对照条件应该如何创造条件利用归纳假设？便于理解的思路是将“a1a2a3…akak+1=1”改造成k个数的积！一种方法是将ak+1均分成k份，每份是[ak+1][]然后与ai（i=1，2，3，…）相乘与组合成k个数的积；另一种方法是将ai（i=1，2，3，…）与ak+1组合成一个数；思路①（a1[ak+1][]）（a2[ak+1][]）（a3[ak+1][]）…（ak[ak+1][]）=1，思路②a1a2a3…ai-1ai+1…（akak+1）=1，如何实施？思路①由归纳假设，（a1[ak+1][]）+（a1[ak+1][]）+（a3[ak+1][]）+…+（ak[ak+1][]）现在回头再看参考答案思路的形成：将a1与ak+1结合构成k项的积（a1ak+1）·a2a3…ak，由归纳假设（a1ak+1）+a2+a3+…+ak≥k，再寻找一个加强不等式a1+ak+1≥a1ak+1+1。 这样经过反思得到了学生觉得很自然的解法。