在数学建模中利用模式识别渗透孔子教学思想

汤林华

摘 要：春秋时期孔子就采用了诸如分层教学、小组教学、现场教学等多种教学方法，将孔子教学的方法渗透进数学建模中，在数学应用题教学中有意识地运用这些教学思想，并使学生亲身参与分析问题、解决问题的整个过程，不断提出新的解决方案，构建新的模型，可以提高学生对应用性问题的透视解决能力，本文从数学建模的解决中谈谈渗透孔子教学思想。

关键词：孔子教学思想；模式识别；小组教学；次相教学；应用建模

孔子教学思想是我国古代教育思想的典型，其采用丰富多彩的教学形式，如：随机教学、小组教学、分层教学、次相教学、集体教学等等，使得其在教学中做到了左右逢源，得心应手，从而培养出了子路等一大批在当时著名的弟子。 他的这些教学形式主张“时习”要达到“行之不已”，对中国后世的教育家影响深远，从而把中国古代学习过程及其结构模式熟化而巩固下来。

数学建模（应用问题）是新课程改革后教材的重点，无论是必修教材还是选修教材，每章每节中有很多应用问题出现，甚至有些问题达到了一定数学建模的基础，随着各地高考以教材为主这一原则的深化，教材中那些基本问题越来越为教师重视。 高中数学中的数学建模思想比较浅，更多的是围绕数学应用背景展开的一些数学问题，经过处理包装，成为一个生活中的实际问题，偶有问题也能参与建模的思想。 因此我们在教学中要重视与学生生活实际相关的应用问题和建模问题，结合孔子的多种教学思想，通过解决问题，进而“生长”出新的知识经验。本文从独特的视角，浅析在应用型问题或建模中如何利用模式识别渗透孔子教学思想，将数学知识传授的同时，也融入人文、数学美等陶冶学生的情感。

[?] 小组教学解决应用建模问题

通过常年实践，笔者认为数学应用性问题结合孔子的教学形式，认识识别数学模型是解决问题的主要方法，根据学习模式，数学建模（或应用型问题）求解依旧是模式识别的一种体现。 在数学解题教学中有意识地渗透、识别模型，并亲身参与分析问题、解决问题的整个过程，不断提出新的解决方案，构建新的模型，将有助于提高对应用性问题的透视解决。

案例1 （分期付款小组教学）现在某人向建设银行申请个人住房公积金贷款20万元，期限为20年。 假定在月初借款，从该月末开始每月以按揭形式还款。若他想节省一些利息支出，请问他应选择等额法还是递减法还款？说明理由。他每月应归还多少元钱？

模式识别：笔者把班级分成四组，派代表深入一线调查，并与银行有关工作人员咨询，对获得的大量第一手资料进行分析、归纳、讨论并深刻思考，精心准备。 在课上他们侃侃而谈，在了解银行术语、还法的计算后，对问题做相应的数学化处理，通过模式识别转化成我们较为熟悉的问题——数列知识中等比数列求和与等差数列求和的运用。

孔子思想：“闵子侍侧，訚訚如也；子路，行行如也；冉有、子贡，侃侃如也。” 这是《先进》篇所描述的孔子的一次小组教学，在此教学情景中，他们求理达真、发展思维。

分析数据：如何数学化呢？各小组了解到：

①我国目前公积金贷款6～30年的年利率是：4.05%，相应的月利率为3.375%。

②银行个人住房贷款的还款方式主要有两种：一种是等额本息还款法；另一种是等额本金还款法。

各小组在与全班学生共同探讨中明确了等额法还款与递减法还款法各量之间的关系，经处理后的实际问题，转化为下列数学问题：

③按等额法还款数学模型

设贷款本金为A，r为月利率，还款总期数为m个月，则到m月末的本利和是A（1+r）m。 再设每月还款数为a，则到m月末的本利合计为a（1+r）m-1+a（1+r）m-2+…+a（1+r）+a。由a（1+r）m-1+a（1+r）m-2+…+a（1+r）+a=A（1+r）m，得a=. （1）

④按递减法还款数学模型

设第k个月末的还款数为bk，其中1≤k≤m，则每月平均归还贷款本金为。 由于第k-1个月末已归还的本金累计额为（k-1），故在第k个月末时，应归还每月平均贷款本金以及剩余本金所产生的利息之和，即bk=+Am（k-1）]r. （2）

还款总额的理论比较（相应的数学模型）

设按等额法还款和递减法还款的累计总额分别为S1，S2，根据（1），（2），

有S1=ma=·m， （3）

S2=bk=·m+

mA-[1+2+…+（m-1）]

·r=A+

mA-·A

·r=·（2+mr+r）. （4）

接下来由研究小组的学生主持研讨，比较大小，其他学生感到新奇有趣，参与精神强烈，求知欲望高涨，完全体现了学生在学习中应有的积极主动的状态，完全把教师“晒“在一边。

由（3）（4）可知，

S1-S2=-（2+mr+r）=·[（mr-r-2）（1+r）m+2+r+mr]。

因为A>0，r>0，m≥1，所以>0。 下面讨论（1+r）m≥1+mr（当且仅当m=1时取等号），令f（x）=（1+x）m-（1+mx），其中x>0，则f′（x）=m（1+x）m-1-m=m[（1+x）m-1-1]≥0，所以f（x）单调递增，f（x）≥f（0）=0，即（1+r）m≥1+mr，当且仅当m=1时取等号。

于是S1-S2≥（mr-r-2）（1+mr）+2+r+mr=m（m-1）r2≥0，即S1≥S2（当且仅当m=1时取等号）。

因此，从理论上回答了为什么多数人选择按递减法还款。 通过这节数学应用课，激发了学生的浓厚数学兴趣，使他们感受到数学建模在解决应用题中的作用，懂得数学学习必须理论联系实际，只有做到学习为了用才真正能感受到数学学习的无穷乐趣。 笔者认为，尽管问题的模型很粗糙，与真正的建模有一定差距，但对学生来说是自觉的，是得到他们全部经验和有智慧支持的，因而是充满活力的。

[?] 次相教学解决应用建模问题

孔子是中国古代次相教学的首倡者，这种教学形式简便易行、不拘一格、生动形象，有耳濡目染之效，是一种接触现实、了解实际、回归自然的好形式，又是一项重要的社会实践活动。 要培养学生的建模能力，必须让他们从身边事讨论，让他们身临其境，加深感受，由难变易，从而顺利进行初步建模教学。

案例2 （货币时间价值应用建模）超市开进校园在南通已不是新鲜事，常有学生抱怨价格高，殊不知商家赚钱也不容易，双休日里虽没有什么收入，但固定的开支可一样不少。 某超市公司在我校开设连锁店，每月租金、员工工资、设备损耗等固定成本为2万元。 每进货价值千元的商品，从进货到上架销售需25元额外费用。 经过一段时间试营业后，公司发现学校内消费群体相对固定，且每天在超市有总量不低于2千元但又不超过3千元的消费，每月平均可以保证有22个正常营业日。 公司打算在该连锁店每月赚得1万元的利润，问进价价值千元的商品，应以多少元零售出售？

模式识别：按问题需要设未知数，列出单价、销售与利润的关系公式，主要涉及一次函数，需要对实际问题进行合理简化。

孔子思想：次相教学即由教师传授于高足弟子，再由高足弟子代教师向其他门徒进行教学的形式，孔子是最早的倡导者和使用者。 这种“即知即传人”的“连环教学法”，可促进学生的求知欲。 故问：“同学们能否再从我们身边提炼出一个实际问题，解决问题的方法与以上类似呢？”

分析提炼：上面问题中的校园超市中，一种纸盒装1000毫升牛奶标价6.9元，问该品种牛奶进价约多少元？（从学生身边的问题入手，让其充分认识建模的结构，激发学生的好奇心和兴趣，利于学生主动参与活动和创造意识的培养）

情景问题：（学生A）

某软件公司开发出一种新的图书管理软件，投入前期开发费用2万元，正式投入市场前广告宣传、到图书馆销售等费用2万元，制成光盘，每套3盘，每盘各种成本合计8元，图书馆购买后还需安装调试费用200元。 经过宣传，有62家图书馆机构愿意购买。 问软件公司如何定价可以确保不亏本，并写出按此定价销售的销量x和利润L的函数关系。

情景变式：（学生B）

上面问题中的软件公司准备从该软件中赚得2万元，以投入新产品的开发。公司已了解到市场上刚刚出现国外与该图书管理软件性能相似的软件，销售高达1900元，你认为作何种策略？（学生将会提出不同的方案）

建立数学模型不完全是为了解决模型的原问题，更有意义的还在于解决具有原型特征的其他许多实际问题。 孔子其教学场所不只限于今日课堂之内，于生活中到处都留下了他教学的足迹，使学生时时处处受教育，联想实际特征，这样的教学才会有利于学生形成高层次的建模能力。

总之，数学建模能力的结构层次是互相联系的，下层为上层基础的统一体，层面上有时不能绝对区分，是互相渗透的，但有一点可以肯定，只有深入体验，耳濡目染，以孔子的无形教育为辅助，头脑中需要通过快速模式识别进行基础知识的还原和本质的感悟，搞清楚数学建模能力的结构，教学中才会有的放矢地进行针对性培养处理，数学建模能力才会给人一种“实质”的感觉。 限于篇幅，有关其他教学形式不再赘述。