归纳推理在高中数学解题中的妙用

摘 要：归纳推理在高中数学解题中如何巧妙应用，本文结合一线课改实验，从数列问题变形猜想，渗透归纳意识；探寻数形规律，蕴涵归纳推理能力；实际问题化归，提升归纳品质这三个方面进行深入探究。

关键词：归纳推理；数列；研究

推理是一个古老的话题，它是根据一个或几个已知事实（或假设）得出一个判断的思维方式.推理能力的培养一直是数学教育最重要的任务之一.归纳法或归纳推理有时叫做归纳逻辑，是论证的前提支持结论但不确保结论的推理过程.它的理论基础是亚里士多德在逻辑学中提出的“三段论”学说.简言之，归纳推理是由特殊到一般，由部分到整体的推理。

数学教学中如何开展归纳推理？对此，小学就已开始了，只不过原教材是分散于各章节内容之中，没有进行专题性的、系统的教学.2001年的《标准》中，提出了发展学生的数学合情推理能力，但在九年义务教育初中数学教材中只增加了合情推理很少一部分内容.这样会导致实际教学与课程标准所要求达到的目标存在一定的偏差.2003年《高中新课标》中“推理与证明”专列一个模块，目的非常明显：提高学生数学探究和推理能力，一方面培养直觉型的创新能力，同时强化理性思维.作为新增教学内容，无论对于学生今后的进一步学习，还是对于激发学生对于数学学科的学习兴趣，增强学生的数学应用意识，都具有十分重要而深远的意义.下面笔者结合多年一线课改实践经验，探讨归纳推理在高中数学解题中的应用。

[?] 数列问题变形猜想，渗透归纳意识

推理一般包括合情推理和演绎推理，他们都是日常学习和生活中经常应用的思维方法，教科书尽量结合学生已学过的数学模型和生活中的实例，引导学生经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳，然后提出猜想的推理，从中挖掘、提炼出归纳推理的含义和方法，特别在数列题型中广泛应用。

例1 已知数列{an}的第1项a1=1，且an+1=（n∈N*），试归纳出这个数列的通项公式。

分析：方法一（归纳法）

分别把n=1，2，3，4代入an+1=得

a2=，a3=，a4=，a5=，归纳出an=. 容易用数学归纳法证明这个猜想是正确的。

方法二（构造法）

取倒数得：=1+，则-=1，令bn=，显然{bn}是等差数列，公差为1.由等差定义知bn=n，故an=。

感悟：法一从特殊入手，引导学生归纳、猜想、推理，得出结论，然后利用数学归纳法给予证明，培养学生归纳推理能力及逻辑思维能力；法二通过观察、变形，构造特殊数列从而得出一般结论，渗透归纳意识。

例2 （易错题）已知数列{an}满足a1=1，an+1=-an+1，试归纳出这个数列的通项公式。

错解：当n=1，2，3，4，分别代入已知条件得，a1=1，a2=，a3=，a4=，

除第一项之外，后三项很有规律，于是可以猜想

错源分析：先天不足，过于武断.容易验证，当n=5时，a5=，就不适合an。

原因是由归纳推理所得的结论未必是可靠的.一般，考查的个体越多，归纳的可靠性越强.因此，归纳推理的猜想出来的结论，一般要证明其正确性。

正解：正确的猜想如下：a1=·-

（1）10是该数列的第几项到第几项？（2）求第100项；③求前100项的和。

分析：这是数列题型中常见题目。思路：分组—观察—找规律—归纳—猜想。

对已知数列进行分组，第一组一个1，个数记为a1=1；第二组两个2，个数记为a2=2；第三组三个3，个数记为a3=3；第四组四个4，个数记为a4=4，……，以此类推。

（1）容易得出“10”皆出现在第十组，由于前九组中共有a1+a2+a3+…+a9=45项，因此10在该数列中从第46项到第55项。

（2）由a1+a2+…+an=1+2+…+n<100，即<100成立的最大自然数为13，又1+2+…+13=91，因此第100项为14。

（3）由上题可知该数列前100项的和为：S100=1×1+2×2+…+13×13+9×14=945。

感悟：本题是在学习等差数列的基础知识上，通过合理的分组，将隐性规律挖掘出来，再观察、归纳从而解决问题。

数列与函数相互渗透在新课改中广泛应用。

例4 设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，点

都在函数f（x）=x+的图象上，求a1，a2，a3的值，猜想an的表达式，并证明您的结论.

分析：由已知=n+，故Sn=n2+an.若n=1，则S1=a1=1+a1，所以a1=2；同理n=2时，S2=a1+a2=4+a2，则a2=4；当n=3时，a3=6.由此可以猜测an=2n。

以上结论用数学归纳法容易证明。

①当n=1时，结论显然成立。

②假设n=k（k≥1）猜想成立，则ak=2k。

当n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk=

整理得ak+1=4k+2-ak=2（k+1），

故n=k+1猜想也成立，所以对于一切n∈N*，结论成立。

点评：本题是中等题，在掌握an与Sn关系的基础上，通过观察特例发现某些共性或一般规律；然后把共性推广为一般猜想，最后，对所得出的一般命题进行检验证明。

【拓展提升】 将数列{an}依次按1、2、3、4、…项循环分（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21），…分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按照原来括号的前后顺序构成的数列为{bn}，求b5+b100的值。

分析：因为an=2n（n∈N*），所以数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…每一次循环记为一组，由于每一个循环含有4个括号，易得出b5=22，且b100是第25组中第4个括号内各数之和.观察每组第4个括号中四个数对应成等差数列，且公差d1=20，由等差数列性质，每组第4个括号中四个数之和也成等差数列，且d2=80.注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以b100=68+24×80=1988，所以b5+b22=2010。

反思：归纳立足于观察、经验或实验基础上。

[?] 探寻数形规律，蕴涵归纳推理能力

数学天才高斯说：“数学是锻炼思维能力的体操。” 归纳推理是培养学生创造性思维能力的重要形式，具有较强的探索和预测作用.教学中恰当地运用归纳方法，不仅能抓住问题的本质，寻找数形规律，而且有助于培养学生的创造能力等思维品质，提高认识问题和解决问题的能力。

例5 （2009年湖北高考）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如：

他们研究图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）

追本溯源1 上题虽是一道创新题，但其来源早已熟悉.（2004春季上海）人教A版选修1-2第46页复习参考题第1题根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图形中有n2-n+1个点.

[（1） （2） （3） （4） （5）]

试题剖析：依题意，图（1）中数的规律a2-a1=2，a3-a2=3，a4-a3=4，…累加易得

an=（n∈N*），而图（2）中cm=m2（m∈N*），故选C。

核心规律：通过数与形之间特殊关系，观察、归纳出数列的通项公式，进而估算得解。

追本溯源2 （2005年广东高考）设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f（n）表示这n条直线交点的个数，f（4）= 5 ，当n>4时，f（n）= （n-2）（n+1）.（用n表示）

分析：因为（1）f（3）-f（2）=2，

分析：观察数表不难发现其是杨辉三角的变异版本，本质还是数列知识归纳推理的应用.第一行是一个1，第二行是两个2，第三行的第一个数是3，

若第n-1行的第二个数为bn-1，第n行的第二个数为bn.由杨辉三角规律得bn=（n-1）+bn-1，即bn-bn-1=n-1.由b3=4，

又bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+（b4-b3）+b3

=（n-1）+（n-2）+…+4+3+4=×（n-3）+4=，于是第10行的第2个数是a10=46。

反思：本数表与上面题型比较，形变神不变.第一个问题可以通过完全归纳列举出来解决问题，但延伸到第n行，难度明显提升.拓展问题的同时，激发学生求知欲望，由观察、概括、特殊到一般总结出结论，体现归纳思维过程.

[?] 实际问题化归，提升归纳品质

归纳推理是重要的推理之一，也是解决问题的重要途径.归纳推理的一般步骤：（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；（2）提出带有规律性的结论，即猜想。

例6 20世纪60年代，日本数学家角谷发现了一个奇怪现象：一个自然数，如果它是偶数就用2除它；如数果奇数，则将它乘以3后再加1，反复进行这样两种运算，会得到什么结果？试考查几个并给出猜想。

这是一道问题情景题，笔者在竞赛辅导班向学生展示，分组实验，能激起大部分学生的探索欲望。

学生展示一，如自然数6，按照角谷的要求：=3，3×3+1=10，=5，5×3+1=16，

=8，=4，=2，=1，计算流程：6—3—10—5—16—8—4—2—1；

学生展示二，计算流程简记9—28—14—7—22—11—34—17—52—26—13—40—20—10—5—16—8—4—2—1，…

大量运算结果，得出一样的规律：这样反复运算的结果都是1.故大胆猜想所有自然数运算结果都是1.这就是“角谷猜想”又名“冰雹猜想”.至今还没有人证明出来。

学生在演示过程中，体验数学乐趣，探索数学奥秘，提升归纳品质.案例启示学生在日常学习生活中，要善于观察、总结、归纳、大胆猜想。

追本溯源 （普通高中数学选修1-2 P27例5）有三根针和套在一根针上的若干大小不同金属片.按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上。

1.每次只能移动一个金属片；

2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面。

试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次。

分析：设n个金属片，需要移动次数为f（n），

当n=1时，f（1）=1，

当n=2时，f（2）=3，

当n=3时，f（3）=7=f（2）+1+f（2），

当n=4时，f（4）=15=f（3）+1+f（3），

归纳出f（n）=2n-1，

f（n）=1，n=1，

2f（n-1）+1，n≥2.

点评：从实际问题入手，激发求知欲望，构造出数的模型.从特殊到一般，总结数学模型的一般规律。

归纳推理是数学基本的思维过程，在高中数学解题中广泛应用.一般情况下，由归纳推理所获得的结论，能帮助猜测规律，能为证明提供思路和方向.但它仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明.解题、教学和研究过程就是师生观察、实验、归纳、类比、联想、猜测以及抽象、概括等思维方法过程，特别是合理的挖掘素材、巧妙的陈述、有效的提问，可以使枯燥的数学课堂充满生机和活力，一方面提高学生数学探究和推理能力，另一方面培养学生直觉型的创新能力和理性思维。