画图：感受数形结合的魅力

周燕

摘 要： 画图作为数学教学的重要组成部分，是数学思想的延伸，是数学方法的渗透.作者从审好题、画准图、不漏解、会活用四个方面反思教师在教学过程中如何引导学生解决画图的相关问题，培养学生准确的画图意识，从而感受到数形结合的魅力.

关键词： 数学教学 审好题 画准图 不漏解 会活用

数与形的结合可以帮助学生更直观地解决数学问题，然而，画图（包括尺规作图）作为数学教学的重要组成部分，分散在各个章节中，常常会被提及，却又缺乏系统性，学生很难在学习中把知识内化为解决问题的方法.因此，更需要老师合理地引导，同时注重思想方法的渗透，从而提高学生的识图能力，培养学生的形感.

一、审好题，让画图“直入主题”

“画图题，也需要审题吗？”“那当然！”

[场景]一个办公室的五位老师在批改同一道画图题，为“说明理由”学生各显神通，老师看得眼花缭乱.

[原题]如图（1），A、B、C表示三个居民小区，现要在三个小区之间建一个中心广场，使这个中心广场到三个居民区A、B、C的距离相等，中心广场应建在何处，请在图（2）上作出这个中心广场的中心点，并说明理由.

图（1） 图（2）

说明理由：甲学生：反复说明点O是中心广场.

乙学生：把画法阐述了一遍.

丙学生：说明了AB、BC、AC三边的垂直平分线交于一点.

仔细审清题后，发现只要证明OA=OB=OC即可，而学生却答非所问，对这样比较单一的问题，学生都会产生歧义，那么，对于多个条件的问题就更需要审清题目的要求.

[又如]有一个梯形，请在图（1），图（2）中分别画出一条线段，同时满足以下条件：

①线段的一个端点为梯形的顶点，另一个端点在梯形一边的格点上；

②将梯形分成两个图形，期中一个是轴对称图形；

③图（1），图（2）中分成的轴对称图形不全等.

图（1） 图（2）

分析：题目中“同时”，说明了条件①②③是“且”的关系.条件①明确了画的是一条两个端点都有要求的线段.条件②中分成的两个图形，只对其中一个图形有条件限制.条件③的“潜台词”是找出两种不同的情况.（分析后，找到满足要求的线段共有五条，学生在图（1）图（2）中各画出一条即可.）

二、落准笔，让画图“准确无误”

在备课组的活动中，数学老师常常会探讨如何引导学生在小方格中画出准确的图形，因为在小方格中画图的要求更高，准确性更强，一旦有所偏差，格点就会把错误“暴露”出来.

记得在开学初的一次组内听课活动中，一位老师讲完“线段垂直平分线”的概念后，想加深学生的理解，就让学生在网格中画出线段的垂直平分线，连请三个学生都没画对，走了一圈，发现有的学生用直角板翻来翻进行比对，还有的学生拿出圆规，把预习的尺规作图画线段的垂直平分线也用上了.老师本想2～3分钟解决的问题，却出现了新情况.老师临危不乱，风趣地说：“还给我的知识没收到，没教的倒用上了.”随后，老师从图（1）到图（4）分析了如何找中点，画垂直……尤其提醒学生用尺规作图时会产生的误差（网格的正方形有时不太标准，笔粗了会使本该没过的格点却过了等），有时可借助直角三角板定大致方向.

图（1） 图（2）

图（3） 图（4）

听完课后，反思自己在刚开始出现网格问题时，也没有重视细节问题，还觉得学生在网格画图中的错误率很高.翻开苏科版七（上）的教材，P165习题第2题和P170习题第4题涉及在小方格中画平行线和垂线的问题，学生准确地理解可以为初二、初三教材中涉及的格点问题打下扎实的基础.我们不得不感叹，网格虽小，但学问可不少.

三、擦亮眼，让画图“巨细无遗”

在数学教学中，我们注重“举一反三”，更希望“授之以渔”，而不是“授之以鱼”，也就是要老师跳出“就题说题”的老框框，有效地利用课堂时间，着重数学思想方法的渗透.那么，在画图题中，数形结合的思想方法无处不在，在此基础上还可以不断渗透分类、枚举、归纳等方法.

[例题]如图，点A，B，C都在方格纸的格点上，请你再找一个格点D，使点点A，B，C，D组成一个轴对称图形.

对一个年级学生的解答调查后发现：

图（1） 图（2） 图（3）

图（1） 图（2）

图（1） 图（2）

③在l上D点左侧截取DC=s，则CD就是所要求的绿化带的位置.

拓展题是在原例1的基础上多了个“绿化带”，似乎问题变复杂了，但由于绿化带长度不变，因此不影响寻找最短距离，可以把绿化带CD“平移”到图中AP位置，接着把点P当做A的“假想”点，寻找“A”到河岸再到B的最短距离点D，最后把AP“回归”到图中CD位置即可.画图题中，条件的适当变化，使题型变得灵活，拓展了学生的思路，提炼了学生的数学思想.

[原例2]已知，如图，直线l及其两侧两点A，B，在直线l上求一点Q，使得l平分∠AQB.

（2）则点Q就是所要求的点.

[拓展]如图（1），凸四边形ABCD中，如果点P满足∠APD=∠APB=α，且∠BPC=∠CPD=β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点.

1.在图（3）正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足α≠β；

2.在图（4）四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出画法）；

图（1） 图（2）

图（3） 图（4）

分析：

1.如图（3）中，画特殊的四边形即正方形的半等角点P，学生很容易找到在对角线AC上，同时为了满足α≠β，所画的点P不是AC的中点和AC的端点.

拓展题把解决原例2的方法放到了一个全新的材料题中，从表面看是解决“半等角点”的问题，实际是结合了正方形的性质、三角形全等及轴对称图形的性质解决一个综合题.题目的解答过程不仅体现了数形结合思想，还考查了学生综合运用知识的能力.

对于学生而言，只有手、眼、脑并用，审清题目，注意细节和方法，考虑全面，灵活运用知识，才能为画图做好充分准备，使画图为解题做好铺垫，能在画图中感受到数形结合的魅力，体会到数学学习的快乐.