图形变换法在几何证明中的创新运用

徐谦

《义务教育数学课程标准》（中华人民共和国教育部制定，北京师范大学出版社出版，2011年）指出：“数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的抽象 思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践能力；促进学生在情感、态度与价 值观等方面的发展。”因此，学生要通过数学课程的学习，学会数学思想，掌握数学的基本方法和基本技能。

我们在初中数学教学中经常会碰到一些条件比较分散的几何综合题，这时候我们就应该采取一些方法把这些条件集中起来，常用的方法就是图形变换，即平移、旋转、对称、相似变换、等积变形等，添加辅助线是图形变换的具体表现。下面我们通过一些例子，重点谈谈平移法、旋转法、对称法这几种变换方法在几何证明题中的具体运用。

一、平移法

平移法就是把某个图形沿着一定的方向从一个位置平移到另一个位置的方法。平移法的依据是利用“平行四边形的性质”和“中位线定理”，平移法在梯形的有关计算和证明中表现得较为充分，如过一点作腰的平行线、构造平行四边形和三角形、把腰平移到同一个三角形中、把两底平移到同一条直线上等。

例l 如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C=90°，E、F分别是AD、BC的中点。求证：EF=1/2（BC-AD）。

探求：由结论中的BC-AD是两底的差，想办法把AD移到BC上，考虑到E是AD的中点，故过E分别作EM∥AB，EN∥DC，交BC分别于M、N，则MN=BC-AD。再结合平行线的性质和直角三角形的性质，问题得证。

二、旋转法

旋转法就是把某个图形绕着一定的点进行旋转，从一个位置旋转到另一个位置。在正方形中，旋转法使用较多，圆中的四点共圆也可以把一个角旋转到所需要的位置上。

例2 如图2，已知点P是正方形ABCD内一点，PA∶PB∶PC=1∶2∶3，求∠APB的度数。

探求：已知条件非常简单，学生如果没有学习旋转法或对旋转法比较生疏的话，一下子很难求解。我们要想办法把已知条件集中起来，如正方形是旋转图形、三条线段的比以及直角三角形的性质（勾股定理）等。具体方法：把△BAP绕B点按顺时针旋转900，转到△BCE处，故有∠APB=∠CEB、BP=BE、AP=CE，同时设PA=x、PB=2x、PC=3x，可求出PE=2，最后利用勾股定理的逆定理可以得到答案。

例3 如图3，以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形CE和正方形BF，且CD⊥AB于D，求证：（AF+AD）2=EF2-

CD2 。

探求：从结论上看，AF、AD接成一条线段，又都是平方的形式，由此想到勾股定理，故延长FA至D'，使AD'=AD，再证△AED'≌△ACD，从而得证。实际上也可以看做是把△ACD绕点A按顺时针旋转900到△ACD处。

三、对称法

对称法就是把某个图形以定直线为轴对折到对称的位置上的方法，常常以角平分线、线段的中垂线为轴。

例4 如图4，已知AD是△ABC

的角平分线，

且AC

求证：CD

探求：在AB上取AE=AC，连结DE，显然有△ACD≌△AED。也就是把△ACD翻折到△AED位置上，可得∠BED=∠FCD>∠B，获证。

四、截长补短法

截长补短法是初中数学几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系。具体说就是把a=b+c转化为b=a-c或反过来使用，寻求问题的解决方法。截长补短法是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想。

五、加倍折半法

加倍折半法具体地说就是把a=2b转化为b=1/2 a或反过来运用。在证明角的2倍或1/2以及线段的2倍或1/2中运用较多所作的辅助线一般是角的平分线或取线段的中点。

六、截取、延长法

截取法、延长法就是在证明线段或角不等关系时，在长线段上取一段等于短线段或把短线段延长等于长线段，构成全等三角形，将要比较的量转化到可以比较的同一个三角形中。前面讲的例4也可以采用这种方法，即延长AC至F，使AF=AB，连结DF，再证明△ABD≌△AFD，所以BD=DF，在△DFC中进行比较，可以得证。

七、相似变换法

就是利用相似比改变图形的大小而不改变其形状的方法。利用相似三角形的性质可以解决有关平行、比例和面积等问题。另外还有等积变形法，就是不改变图形的面积只改变图形的形状的方法，利用“同底等高的三角形面积不变”的定理解决问题。在此不再举例。

总之，在初中数学教学中，几何是教学的重点，也是教学的难点。当我们碰到一些条件比较复杂的几何综合题时，要想方设法利用图形变换的方法来求得答案。教无定法，贵在得法。只要我们按照《义务教育数学课程标准》的要求组织教学，培养学生的抽象思维和推理思维能力，就能让学生学会数学思想，掌握数学必备的基础知识和基本技能，从而提高他们的创新意识和实践能力。

（江苏省新沂市第四中学）