加强数形结合 提高解题能力

周志保

初中数学以现实世界的数量关系到空间形式作为其研究对象，因而数形结合是一种很自然的数学思想，它可以把图形的性质转化成数量关系问题，也可以把数量关系转化成图形的性质问题，这种处理问题的思想方法就是数形结合思想方法. 以下对数形结合思想在解题中的应用从以形辅数和以数辅形这两方面做一番探讨.

一、数向形的转化，利用形的直观解题

（一）借助于数轴解绝对值一次不等式

很容易观察出来x ≥ 3或x ≤ -1.

（二）借助于函数图像解题

（三）构造特殊图形解题

试问有多少学生三种都及格？

分析 本题若从代数的方法来解比较抽象，较难获得答案，借助韦恩图答案就一目了然.

解 借助韦恩图来解，由题意可知总人数41人，即可得三科及格人数为41 - 15 = 26（人）.

（四）利用勾股定理解题

二、从形到数，揭示形中数的本质

（一）用代数方法解决平面几何问题在初中数学中的应用

例1 平行四边形ABCD中，∠DAB是锐角，且AC2·BD2 = AB4 + AD4，求证：∠A = 45°.

分析 这个题目从几何角度来证明难度很大，因为条件有限且AC，BD，AB，AD又不能在同一三角形中有机结合起来，这就给证明带来了困难，但借助代数中的根与系数关系和余弦定理此题便可较快解答（证明略）.

（二）用代数方法解决平面几何问题在高中数学中的应用

例2 已知：△ABC的三个顶点是A（4，1），B（7，5），C（-4，7），求∠A的平分线AD的长.

解 第一步，简单的数形结合，在直角坐标系下指出已知点A，B，C，画出△ABC的边及其∠A的平分线AD（如图）.

从以上解题可知数学解题是一个富有创造性的数学思维活动过程. 数形结合其实就是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，发挥数与形的两种信息的转换，及其优势互补与整合. 正如华罗庚先生所说的数无形时少直觉，形少数时难入微！

【参考文献】

[1]章士藻著.中学数学教育学.南京：江苏教育出版社，1996.

[2]张雄，李得虎，编著.數学方法论与解题研究.北京：高等教育出版社.

[3]李勇新，藤文凯，等编著.中学数学教材教法.长春：东北师范大学出版社.