浅析初中数学教学中的反例教学

李东丰

反例因其简明、直观、说服力强等突出特点，决定了它在教学中起着不可替代的作用.恰当地运用反例进行教学，引导学生从反面去思考问题，将有助于学生数学素养的提高，使教学达到事半功倍的效果. 下面，笔者结合自己的教学实践，就反例的概念、基本类型、应用时注意的问题谈几点体会.

一、什么是反例

用命题形式给出的一个数学问题，要判断它是错误的，只要举出一个满足命题的条件，但结论不成立的例子，就足以否定这个命题，这样的例子就是通常意义下的反例. 学会构造反例不仅对加深记忆，深入理解定义、定理或公式等起着重要的作用，同时它也是纠正错误的常用方法，是培养逆向思维能力的重要手段.

二、反例的基本类型

反例概念的产生与数学命题的结构密切相关，因此，数学上的反例可分为以下几种类型：

1. 基本形式反例

数学命题有以下四种基本形式：全称肯定判断，全称否定判断，特称肯定判断，特称否定判断. 全称肯定判断（所有S都是P）与特称否定判断（有S不是P）可以互为反例，全称否定判断（所有S都不是P）与特称肯定判断（有S是P）也可以互为反例.

2. 关于充分条件假言判断与必要条件假言判断的反例

充分条件的假言判断是断定某事物情况是另一事物情况充分条件的假言判断，可表述为p→q，即“有前者，必有后者”，但是“没有前者，不一定没有后者. ”可举反例“没有前者，却有后者”说明之. 这种反例称关于充分条件假言判断的反例.

必要条件的假言判断是断定某事物情况是另一事物情况必要条件的假言判断，可表述为p←q，即“没有前者，就没有后者”，但是“有了前者，不一定有后者”. 可举反例“有了前者，没有后者”说明之.

3. 条件变化型反例

数学命题的条件改变时，结论不一定正确. 为了说明这一点所举出的反例称作条件变化型反例. 条件变化有多种，有减少条件，有增加条件，有变化条件，考查这几种情况下结论的变化，对数学科学研究与教学均是有益的.

三、实施反例教学要注意的问题

1. 注意反例教学的引入

根据学生年龄、生理及心理特征，以及所学知识结构的不完整性，有时还不具备独立系统的推理论证的能力，思维受到一定的局限，考虑问题可能还会不够全面，在教学过程中要注意反例教学引入的合理性和可行性.

2. 注意反例教学的构建

教师在进行教学时，不但要适当地使用反例，更重要的是要善于引导学生构建反例，这实际上是为学生创设了一种探索情境，又由于在通常情况下，许多反例的构建不是唯一的，这就需要学生对所学知识有深刻、透彻的理解，并调动他们全部的数学功底，充分展开想象，因此，构建反例的过程也是学生思维发挥和训练的过程.

例如，在講授“实数”一节时，我曾安排了这样一个思考题：两个无理数的和是否一定是无理数？学生们马上举出几个反例，如π与-π，它们的和等于零，是有理数. 这些反例的共同特征是：互为相反数的两无理数和为有理数.

在此问题的基础上，教师可以进一步地追问：两个无理数的积是否一定是无理数？两个有理数的和或者积是否一定是有理数？一个无理数与一个有理数的和是否一定是无理数？一个无理数与一个有理数的积是否一定是无理数？通过对这些问题作更多更深入的研究，不仅可以培养学生思维的发散性，还可以加深对有理数、无理数概念的理解，弄清有理数和无理数之间的关系.

这一事例说明教师在日常教学中，可经常选择一些典型的数学知识或问题，通过创设问题情境，引导学生构建反例，引导学生敢于和善于发现问题或提出问题，爱护、支持和鼓励学生中的一切含有创造因素的思想和活动，从而提高学生的思维能力.

3. 注意反例教学的逐层深入性

在教学时，反例的构建要根据学生的认知发展水平和已有的知识结构逐层深入地进行，把某些难度较大的问题分解为一些小的梯度题.

例如，在教学“三角形全等的判定定理”时，学生在掌握基本的几个判定定理（SSS，SAS，ASA，AAS）后，教师可让学生判断：三个角对应相等的三角形全等；有两边及其其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等. 三角对应相等的三角形全等的反例比较容易列举，例如，三角板中的两个三角形. 但是有两边及其其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等的反例却较难构建. 为了解决这个问题，教师可以先固定某些边或者某些角对应相等以后再让学生构建反例，步步深入，降低难度.

除此之外反例必须从教学实践中来，要真实，生动.如果是教师自己编写的也必须符合客观实际；反例必须典型.反例要能代表概念性质对象的特点；反例必须要有针对性.应该针对所讲的教学内容和教学实际和学生的接受能力来选择和编排反例.

在初中数学教学中，恰当地应用反例进行教学，引导学生从反面去思考问题，将有助于数学教学质量的提高和学生数学素质的培养. 只要教师在教学过程中合理地运用反例，适当地构造反例，就能使学生不断地完善数学概念，提高分析、判断问题的能力，从而达到事半功倍的教学效果.

【参考文献】

[1]徐福祥.反例在中学数学教学中的应用[J].新课程（下），2011（9）.

[2]陈涛.举反例在初中数学教学中的应用[J].中国人民教师，2011（3）.

[3]覃莲秋.在数学教学中巧用反例[J].中国科教创新导刊，2011（9）.