找准思维的落脚点

林胜飞

【案例背景】

平形四边形的面积是人教版《数学》五年级上册多边形的面积单元的内容，以长方形的面积计算为基础，在学生初步认识平行四边形后进行学习的。

在试教的过程中我们发现课堂中我们的目标直指平行四边形的面积计算公式，可以说为了这个 “公式”而不择任何“手段”，尤其是在学生得出等底等高的平行四边形和长方形面积一样时，我们都抛出了这样几个问题：①平行四边形的底、高与长方形的长、宽有什么关系？②转化前后两图形之间什么没有变化？以下是几个教学片断。

【过程展示】

（一）回顾原型，大胆猜测

1.出示一个长方形模型。

师：这是一个长方形，对于长方形你都了解它什么？

生1：四条边，四个角。

生2：四个都是直角

生3：我们能计算出它的周长：周长=（长+宽）×2

生4：我们还能计算出它的面积：面积=长×宽

生：可以先量出它的长和宽，然后长×宽就可以算出它的面积。

师：不错，我们可以利用长方形的面积计算公式去计算，如果告诉你长方形的长为5厘米，宽为4厘米，那面积就应该为多少？（板书：5×4=20平方厘米）

2.想象：如果轻轻向右下压长方形，会变成一个什么图形？（模型演示）

生：会变成一个平行四边形。

师：那关于平行四边形你又了解它的哪些知识呢？

生1：平行四边形也有四条边，四个角，而且对边相等。

生2：平行四边形有底边和底边所对应的高。

生3：长方形是一种特殊的平行四边形。

师：说的真好，看来大家对平行四边的了解真多。这节课我们就继续来认识平行四边形。

3.猜测：长方形可以通过计算得到它的面积，那平行四边形也可以通过计算得到它的面积吗？

出示：

师：如果这个平行四边形的两条邻边分别为5厘米和4厘米，5厘米的底对应的高为3厘米，你认为面积应该为多少？你是怎么想的？（教师引导学生得出其算式的计算方法）

生1：（5+4）×2=18（平方厘米）（求周长）

生2：5×4=20（平方厘米）（相邻两边相乘）

生3：5×3=15（平方厘米）（底×高）

师：怎么有这么多的答案？但我们知道平行四边形的面积和长方形的一样也是唯一的。那到底谁说得对呢？还需要我们进一步的验证。

（二）动手操作，渗透转化

师：你认为可以用什么办法验证？

生1：可以用我们以前学过的数方格的方法。

生2：可以把它变成一个长方形再计算。

……

1.数方格的方法

（1）师：方法很多，那我们选择两种我们平时较常用的方法去试试。先来看看用数方格的方法。

出示要求：

①数一数，同桌合作数一数纸片上一共有几个方格；

②想一想，你们是怎么数的，你们有什么发现，写下来；

③将纸片放在桌子右上角，准备汇报。

（2）学生汇报：

生：我们数了数发现一共是15个格子，我们是这样数的，首先数满格的，共有10个。然后数不是满格的，我们发现左边的格子和右边的格子凑起来刚好是一个满格，这里总共有5个满格。所以平形四边形的面积应该用底×高来计算。

师：你们的发现真了不起，通过数格子的方法验证我们刚才的想法，平行四边形的面积能用底×高来计算。

2.转化成长方形的方法

（1）师：那两个邻边相乘得到的为什么不是平行四边形的面积呢？我们来用第二个方法验证下。

出示要求：

①操作要求：利用剪刀，笔，尺子等工具，将一个平行四边形纸片通过剪、拼，变成一个长方形；

②想一想：你是怎么剪、拼的？观察拼成的长方形和原来的平行四边形，你发现什么？写下来；

③将工具整理好放在桌子右上角，准备汇报。

（2）学生汇报：

生1：我沿着高剪下一个小三角形，拼到右边就变成一个长方形了，我发现拼成的长方形的面积和原来平行四边形的面积相等。

生2：我发现拼成的长方形的长等于原来平行四边形的底，长方形的宽等于原来平行四边形的高。

（3）教师利用课件演示平行四边形转化成长方形的过程，并通过线的闪动突出长、宽和底、高的对应关系。

（4）师：通过上面的实验，你们认为平行四边形的面积应该怎样计算？理由是什么？

生：我认为平行四边形的面积应该等于底×高。因为拼成的长方形的面积等于长×宽，而拼成的长方形的长等于原来平行四边形的底，长方形的宽等于原来平行四边形的高。由此可以推出上面的计算公式。

师：说得非常好！（平行四边形的面积=底×高）

（三）强化转化，构建新知

1. 师：刚才通过研究，有同学发现了这个平行四边形（小纸片）的面积是底乘以高。那是不是所有的平行四边形的面积都可以用底乘以高来算？我们来看一下这几个平行四边形能不能转化为我们的熟悉的长方形？（课件展示转化方法）

2.师：现在我们可以很肯定地说平行四边形的面积=底×高了，平行四边形的面积计算公式还可以用字母来表示：S=ah

【教学反思】

思维是很空乏的东西，在课堂中需要很多有效的活动得以支撑，在挖掘平行四边形的面积计算公式的过程我们深刻的体会到了这一点，我们认为数学课堂中的数学思维训练可以从以下几个方面落脚。

1.在新旧知识结合处落脚

长方形的面积为长×宽，这是学生已有知识，学生已经高度抽象地理解了面积的意义。面积此时在学生心目中已成为一些数字，而不是平面的大小。这就为平行四边形的面积这一新知的探究产生了极大地负迁移。如果我们一味的躲避负迁移，效果反而适得其反。在本课例中为充分暴露学生思维，我们尝试让他们大胆猜测，采用积极正视负迁移，有效利用负迁移的方法。于是在猜测平行四边形面积的时候就出现了用求周长的方法、两邻边相称的方法、底乘高方法等。由于面积是唯一的，这激起了学生探求新知的强烈欲望，为接下来的动手探索埋下了伏笔，同时也有效避免了旧知对新知的负迁移作用。

2.在疑难处落脚

数方格的方法是探究平行四边形的最常见方法，在数方格时由于会产生大小不一的不满格而使数方格的方法受到学生的质疑。因此，教材中都将不满格的无论大小都当成半格算，虽然这样的方法经过验证后也是科学、可行的，但是学生往往都是直观的看的，不满半格的也当半格算，学生从内心接受不了。基于这样的考虑，我们在课堂中没有强调不满格的都当成半格算，而是让学生自己去寻找解决办法。在课例中我们也可以发现学生是能够非常完美地解决这个问题的，通过大小的拼凑，就变成了一个满格。而在这拼凑的过程中，就是转化思想的体现，学生的思维得以提升。

3.在动手操作过程中落脚

要重视让学生在学习过程中，运用多种感官进行感观认识，再通过自己动手操作，进行积极思维来获取知识。本课例中让学生通过工具剪平行四边形、拼长方形这个活动，使得平行四边形的面积计算公式这一抽象的知识，因为有了形象的展示，而得到了有效地落实。

4.在对比说理的过程中落脚

由数方格的方法得到平行四边形的面积计算公式后，我们由此展开了对比说理的活动。用平行四边形剪、拼成长方形后对比观察，明确了底×高为什么可以算出平行四边形的面积，而邻边相乘得不到平行四边形的面积；在剪、拼活动后，我们又引导学生思考，这只是一个普通的平行四边形，那是不是所有的平行四边形都可以转化为长方形，从而用底×高来计算它的面积呢？由这样一个平放的特殊平行四边形到各种位置的一般的平行四边形，让学生感受数学严密性。在这样的对比说理中，思维的深度和广度得以锻炼。