运用一般化的策略解题

崔香兰

[摘 要]：一般化与特殊化是人类认识事物的两个重要侧面，也是解题的两种基本策略，他们相辅相成，是辩证的统一.在多数场合，特殊问题简单、直观，容易认识，容易把握.但是，也有一些场合，特殊问题的个别特性可能会掩盖事物的本质属性，给解题带来困难，而直接求解相应的一般性问题，反而来得简便、明快、奇巧。

[关键词]：特殊问题一般化 数学思想 解题方法 数学发现

一、引言

特殊问题一般化方法是数学问题解决的一种重要的数学思想方法。其特点是运用了以退为进、先森林后树木、特殊蕴于一般的数学思想。由于特殊化问题的构成要素较简单，不能很好地反映出问题的实质或全貌，若将其一般化，利用一般性问题蕴含着特殊问题，只要一般性问题获得解决，则所给的特殊问题就立刻获得解决。

通过特殊问题一般化方法解题，不但使原问题获得解决，也使得原问题得到了进一步的推广或引申，而且能更好地揭示原问题的内涵和外延，开阔了解题者的视野，思维获得到了锻炼和培养。

本文通过举例，分类阐述这一重要的解题策略在数学解题中的运用。

二、特殊问题一般化的解题策略

1、构造数学模型策略

数学模型方法是对现实原型实质问题通过抽象、简化的数学结构。由于数学模型方法易于认识和求解，因而是数学问题解决的重要数学思想方法之一。构造函数模型在实际生活中，有关用料最省、造价最低、利润最大、容积（面积）最大等问题，往往可以通过分析、联想，建立“函数模型”，转化为求函数最值问题.

例：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

读者可以试着做一做以下两道题目：

1、用长为8m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，问窗框的宽和高各是多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？

2、有一座抛物线型拱桥，在正常水位AB时，水面宽20米，水位上升3米，就达到警戒线CD，这时水面宽为10米。（1）求抛物线型拱桥的解析式。

（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升，从警戒线开始，在持续多少小时才能达到拱桥顶？

（3）若正常水位时，有一艘宽8米，高2.5米的小船能否安全通过这座桥？

2、化归转化的策略

当我们遇到的数学问题不易或不能用构造已有的数学模型解决时，可考虑转化策略。转化与化归是中学数学最基本的数学思想之一，数形结合的思想体现了数与形的转化；函数与方程的思想体现了函数、方程、不等式之间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，所以以上三种思想也是转化与化归思想的具体呈现。

但是转化包括等价转化和非等价转化，等价转化要求在转化的过程中前因和后果是充分的也是必要的；不等价转化就只有一种情况，因此结论要注意检验、调整和补充。转化的原则是将不熟悉和难解的问题转为熟知的、易解的和已经解决的问题，将抽象的问题转为具体的和直观的问题；将复杂的转为简单的问题；将一般的转为特殊的问题；将实际的问题转为数学的问题等等使问题易于解决。常见的转化方法有直接转化法、换元法、数形结合法、等价转化法、特殊化方法、构造法、坐标法。

其余乘法公式也照此给学生做换元的渗透。

在初一数学教学中经常地渗透一些换元思想，不仅可以培养学生的解题能力，而且能培养学生的换元意识，帮助学生克服学习中的困难，提高他们学习数学的兴趣，这对大面积提高教学质量有一定的作用。

3、归纳演绎的策略

对所给的特殊问题，首先看清问题的实质，揭示问题一般化的普遍规律，从整体考虑，从而发现解题思路。从具体到抽象，再从一般到特殊，使问题获得解决。这种解题思想就是归纳演绎的解题策略。

例：如果三角形两边不等，那么这两边所对的角不等，大边所对的角较大。已知△ABC，AB>AC，求证：∠ACB>∠ABC

证明：在AB边上截取AD=AC

∵△ADC是等腰三角形，∴∠ADC=∠ACD，又∵∠ACB>∠ACD，∴∠ACB>∠ADC

又∵∠ADC是△DBC中∠BDC的外角，∴∠ADC>∠ABC

又∵∠ACB>∠ADC，∠ADC>∠ABC，∴∠ACB>∠ABC.

这个证明过程实际上是由下面五个演绎推理组成的：

第一个推理：等腰三角形的底角相等（大前提）。

△ADC是以DC为底的等腰三角形（小前提），所以△ADC的底角∠ADC=∠ACD（结论）。

第二个推理：全量大于分量（大前提），∠ACD是∠ACB的一部分（小前提），

所以∠ACB>∠ACD（结论）。

第三个推理：，∠ACB>∠ACD也大于和∠ACD相等的角（大前提），

∠ADC=∠ACD（小前提），所以∠ACB>∠ACD（结论）

第四个推理：三角形一个外角大于和它不相邻的内角（大前提）。

∠ADC是∠BDC的外角，∠ABC是∠ADC不相邻的内角（小前提），

所以∠ADC>∠ABC（结论）

第五个推理：甲量大于乙量，乙量大于丙量。那么甲量大于丙量（大前提），

现在∠ACB>∠ADC，∠ADC>∠ABC（小前提），所以∠ACB>∠ABC（结论）.

从这个证明过程可以看出，它是以定理的题设出发，找出了等量公理、等腰三角形性质、外角定理等为依据，经过五个推理，其中前一个推理的结论作为后一个推理的前提，连贯进行，直到最后判明命题成立，从而揭示出命题成立的立足理由。

三、结语

“问题是数学的心脏”。问题的解决是数学知识的应用，是数学理论的一种外化，是由已知的数学事实导出待求数学事实的一种思维过程。通过数学问题解决的教学，充分揭示问题中所蕴含的数学知识和数学思维方法，培养学生解题的技能技巧，使学生的数学思想方法不断发展和完善，提高学生解题的热情和能力，继而培养学生的创造意识和创造能力。

特殊问题一般化正是一种培养学生创造意识行之有效的教学好方法。教学中，如果能把特殊化与一般化的解题策略相结合，利用以退为进、进退结合的思维方式，就能使学生解题的思路更加开阔，更有利于培养学生的综合能力，因此，教师应重视数学思想方法的数学。

参考文献：

[1] 冯克诚主编 实用课堂教学方法大系 中学卷 数学1999年9月第一版

[2] 张同君主编 中学数学解题研究[M] 东北师范大学出版社 2002年5月第一版

[3] 张雄 李得虎 数学方法论与解题研究[M] 高等教育出版社2003年8月第一版