谈高中数学中求最值问题的十四种思想方法

最值问题是高中数学中的常见问题也是非常重要的问题，它内容丰富，涉及面广，解法灵活多变，因而倍受命题者青睐，成为高中数学的一道亮丽风景.解决最值问题的思想方法有许多，这要根据具体的问题来作出具体的分析和判断，从而选择具体的方法去解决它.本文就高中数学中常见的一些最值问题谈谈若干的思想方法，希望对读者能够有所借鉴和帮助.

一、利用配方

例1 设Sn是数列{an}的前n项和，若不等式a2n+S2nn2≥λa21对任何等差数列{an}及任何正整数n恒成立，求λ的最大值.

【分析】 当a1=0时，λ∈R；当a1≠0时，由a2n+S2nn2≥λa21得λ≤（ana1）2+（a1+an2a1）2.

设ana1=t，则λ≤t2+（12+t2）2.又t2+（12+t2）2=54t2+t2+14=54（t+15）2+15≥15

∴λ≤15.综上可知λ的最大值是15.

二、利用判别式

例2 已知实数a，b，c满足：a+b+c=3，a2+b2+c2=92，求a的最大值.

【分析】 由于题设中含有三个变量，可以考虑先通过等量代换消去c，可使问题转化为关于变量b的一元二次方程，因方程有实数根，再利用判别式Δ≥0求出a的取值范围.

将c=3-（a+b）代入a2+b2+c2=92，整理得4b2+4（a-3）b+4a2-12a+9=0，由题设知方程有实数根，由Δ≥0.求之得0≤a≤2.所以a的最大值是2.

三、利用解不等式

例3 设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，求2x+y的最大值.

【分析】 ∵4x2+y2+xy=1，∴（2x+y）2-3xy=1，即（2x+y）2-32·2xy=1，

∴（2x+y）2-32（2x+y2）2≤1，解之得：（2x+y）2≤85，即-2105≤2x+y≤2105.

所以2x+y的最大值是2105

四、利用三角函数有界性

例4 A是单位圆与x轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP=θ，（0<θ<π），OQ=OA+OP，四边形OAQP的面积为S，求OA·OQ+S的最大值.

【分析】 由已知A（1，0），P（cosθ，sinθ），∵OQ=OA+OP，∴OQ=（1+cosθ，sinθ）

又S=sinθ，∴OA·OQ+S=sinθ+cosθ+1=2sin（θ+π4）+1（0<θ<π），∵0<θ<π，∴π4<θ+π4<5π4，∴-22

五、利用函数单调性

例5 已知函数f（x）=x2+2x+12x，x∈[1，+∞），求函数f（x）的最小值.

【分析】 f（x）=x+12x+2，∵f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，∴f（x）在区间[1，+∞）上的最小值为f（1）=72.

六、利用线性规划

例6 设等差数列{an}的前n项和为Sn，S4≥10，S5≤15，求a4的最大值.

【分析】 进行知识迁移，将数列问题转化成线性规划.约束条件为2a1+3d≥5a1+2d≤3，目标函数为a4=a1+3d.建立平面直角坐标系a1od，画出可行域易知，当直线a4=a1+3d过可行域内（1，1）点时截距最大，此时目标函数取最大值a4=4.

七、利用数形结合

例7 若|x-a|+1x≥12对一切x>0恒成立，求a的最大值.

【分析】 分别考虑函数y1=|x-a|和y2=-1x+12的图像，由图像容易知道，当a≤2时，|x-a|≥-1x+12对一切x>0恒成立，所以a的最大值为2.

八、利用基本不等式

例8 已知三次函数f（x）=a3x3+b2x2+cx+d（a

【分析】 由题意f′（x）=ax2+bx+c≥0在R上恒成立，则a>0，Δ=b2-4ac≤0.

∴a+b+cb-a=a2+ab+acab-a2≥a2+ab+14b2ab-a2=1+ba+14（ba）2ba-1，令t=ba（t>1），

则a+b+cb-a≥1+t+14t2t-1=14（t+2）2t-1

=14（t-1+3）2t-1=14（t-1+9t-1+6）≥3（当且仅当t=4，即b=4a=c时取“=”）.所以a+b+cb-a的最小值为3.

九、利用导数

例9 设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图像分别交于点M，N，求当|MN|达到最小时的t的值.

【分析】 由题|MN|=x2-lnx，（x>0）不妨令h（x）=x2-lnx，则h′（x）=2x-1x，令h′（x）=0解得x=22，因x∈（0，22）时，h′（x）<0，当x∈（22，+∞）时，h′（x）>0，所以当x=22时，|MN|达到最小.即t=22.

十、利用对称

例10 双曲线x23-y2=1，F是右焦点，A（3，1），P是该双曲线右支上任意一点，求|PF|+|PA|的最小值.

【分析】 本题主要考查双曲线的定义及数形结合思想，具有较强的思辨性.此问题涉及到双曲线的右焦点，如果联想不到其对称的左焦点就不易解决问题，这细微之处是“一两拨千斤”的关键所在.由双曲线定义可得|PF|-|PF1|=-2a=-23，而|PF1|+|PA|≥|AF1|=26，当且仅当A、P、F1三点共线时等号成立，两式相加得|PF|+|PA|≥26-23，所以|PF|+|PA|的最小值为26-23.

十一、利用解析法

例11 若AB=2，AC=2BC，求S△ABC的最大值.

【分析】 此题用常规方法解答很烦琐，可利用解析法来解决.以直线AB为x轴，线段AB的中点为坐标原点O，建立直角坐标系，设C（x，y），则由AC=2BC，

得（x+1）2+y2=2·（x-1）2+y2，∴（x-3）2+y2=8.点C的轨迹为圆，其半径为22.

则△ABC的面积的最大值等于12×2×22=22.

十二、利用向量

例12 已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，求|PA+3PB|的最小值.

【分析】 以相互垂直的向量DP，DA为基底表示PA+3PB，得

PA+3PB=DA-DP+3PC+3CB=52DA+（3PC-DP）.

又P是腰DC上的动点，即PC与DP共线，于是可设PC=λDP，

有PA+3PB=52DA+（3λ-1）DP.

所以|PA+3PB|2=254|DA|2+[（3λ-1）DP]2+52×（3λ-1）DA·DP

即|PA+3PB|2=254|DA|2+[（3λ-1）DP]2=25+|（3λ-1）DP|2.

由于P是腰DC上的动点，显然当λ=13，即PC=13DP时，

所以|PA+3PB|有最小值5.

十二、利用构造法

例12 设实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤x2y≤9，求x3y4的最大值.

【分析】 可以用已知的两个不等式构造出x3y4的最大值.只需将4≤x2y≤9平方，

3≤xy2≤8变为倒数，就得到（x2y）2∈[16，81]，1xy2∈[18，13]，

因此x3y4=（x2y）2·1xy2∈[2，27]，所以x3y4的最大值是27.

十三、利用特殊函数

例13 已知m，n∈R，且m+2n=2，求m·2m+n·22n+1的最小值.

【分析】 从结构上观察发现可以把m·2m+n·22n+1化为m·2m+2n·22n，构造函数f（x）=x·2x（x∈R），问题化为求f（m）+f（2n）.由条件m+2n=2，联想到研究函数的凸凹性，f（x）=x·2x是凹函数，所以f（m）+f（2n）2≥f（m+2n2）=f（1）=2，所以

m·2m+n·22n+1的最小值为4.当且仅当m=2n=1即m=1，n=12时取到最小值.

定义在R上的函数f（x）满足：如果任意x1，x2∈R，都有f（x1+x22）≤12[f（x1）+f（x2）]，则称函数f（x）是R上的凹函数.

十四、利用柯西不等式

例14 已知x+2y+3z=1，求x2+y2+z2的最小值.

【分析】 柯西不等式是著名的不等式之一，灵活巧妙的应用它，可以使一些比较困难的问题迎刃而解.

利用柯西不等式得到（x2+y2+z2）（12+22+32）≥（x+2y+3z）2=1 ∴x2+y2+z2≥114，

当且仅当x1=y2=z3，即x=114，y=17，z=314时，x2+y2+z2取的最小值114.

最值问题也可以表述成值域问题，取值范围等问题.它与许多知识的联系是十分紧密的，综合性很强，是考查观察、分析、综合、探索以及运用数学思想方法等能力的极好素材.最近几年最值问题向着多形式的题型发展，并有拓宽和加深的趋势.因此我们有必要把运用数学思想求最值的知识方法认真总结和归纳，从而更好的理解和掌握它，培养我们良好的思维品质，提高分析问题和解决问题的能力.

（作者：翁星荣，苏州市木渎第二高级中学）