函数热点问题分类评析

函数是高中数学中极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的全过程.函数作为高中代数最基本、最重要的内容，在卷面所占总分的比值都较大幅度地超过了教学大纲中规定的相应课时比值.特别是新教材试卷强化了导数在函数中的工具作用.利用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题占较重分值.纵观历年高考试题，函数的概念及性质，函数的图象及变换，以基本函数出现的综合题和应用题一直是常考不衰的热点问题.下面就有关函数热点题型，分类评析几例，以扩展同学们的视野.

一、函数定义域问题

点评：函数定义域是高考的常考内容之一，一般情况下，函数的定义域就是指使函数解析式有意义的所有实数x的集合，但实际问题的定义域必须具有实际意义，对含参数的函数定义域必须对字母参数分类讨论.在一些具体函数综合问题中，函数定义域往往具有隐蔽性，所以在研究这些问题时，必须遵循“定义域优先”的原则.

二、函数图象问题

点评：由于近年来高考试题加强了数形结合思想的考查，最明显的是高考试卷中函数图象考题的增多.要掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的图象和性质，在此基础上，理解掌握常见的图象平移、对称及伸缩变换，通过对图象的识别来考查函数的性质.

三、函数求值问题

点评：函数求值问题一直是高考常考不衰的题型，它在高考中的突出地位应引起高度重视，有关函数求值问题大多是通过利用函数的奇偶性或周期性，将未知值转化为已知值问题.

四、函数单调性问题

（1）当01；

（2）是否存在实数a、b（a

（3）若存在实数a、b（a

（2）不存在满足条件的实数a、b.

若存在满足条件的实数a、b，使得函数f（x）的定义域、值域都是[a，b]，

与a

②当a、b∈[1，+∞）时，f（x）=1-1x在[1，+∞）上为增函数，

故此时不存在适合条件的实数a、b.

③当a∈（0，1），b∈[1，+∞）时，由于1∈[a，b]，而f（1）=0[a，b]，

故此时不存在适合条件的实数a、b.

综上可知，不存在满足条件的实数a、b.

（3）若存在实数a、b（a0，m>0.

①当a、b∈（0，1）时，f（x）=1x-1在（0，1）上为减函数，值域为[ma，mb]，

与a

②当a∈（0，1），b∈[1，+∞）时，由于1∈[a，b]，而f（1）=0[ma，mb]，

故此时不存在适合条件的实数a、b.

③当a、b∈[1，+∞）时，f（x）=1-1x在[1，+∞）上为增函数，

点评：函数单调性是高考热点问题之一，在历年的高考试题中，考查利用函数单调性的试题屡见不鲜，既可以考查用定义判断函数的单调性，用反例说明函数不是单调函数，求单调区间等问题，又可以考查利用函数的单调性求应用题中的最值问题.函数的单调性是探索函数值域或最值的常用工具，是函数思想在解题中的具体体现，应当引起重视.解存在性问题的常用方法是先对结论做肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行探索，由探索结果是否出现矛盾来作出正确判断.

五、三个二次问题

例5 已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，且|AB|=4，它在y轴上的截距为-3.又对任意的x都有f（x+1）=f（1-x）.

（1）求二次函数的表达式；

（2）若二次函数的图象都在直线l：y=x+m的上方，求实数m的取值范围.

（2）由条件知，x2-2x-3>x+m，即x2-3x-3-m>0对于x∈R恒成立，

点评：二次函数、二次不等式、二次方程是高中数学的重要内容，它把中学数学各个分支紧紧地联系在一起.以“三个二次”为载体，综合二次函数、二次不等式、二次方程交叉汇合处为主干，构筑成知识网络型代数推理题，在高考试题出现的频率相当高，占据着令人瞩目的地位.

六、函数应用问题

例6 某公司是一家专做产品A销售的企业，第一批产品A上市销售40天内全部售完.该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图一、二、三所示，其中图一中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图二中的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图三中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系（国内外市场相同）.

（1）分别写出国外市场的日销售量f（t）、国内市场的日销售量g（t）与第一批产品A上市时间t的关系式；

（2）第一批产品A上市后的哪几天，这家公司的日销售利润超过6300万元？

（作者：赵春祥，中学数学特级教师，河北省乐亭县第二中学）