《集合与常用逻辑用语》重点知识梳理、典型题型归纳总结

集合是高中数学中的一个重要概念，是研究数学问题的基础和工具.因此，集合是每年高考必考的内容，考查时以填空题为主，难度不大，主要从两个方面进行考查：一方面是考查集合本身的知识，集合与集合之间的关系，集合的运算等；另一方面是考查集合语言与其他数学知识的综合运用.常用逻辑用语内容的考查主要涉及到：命题的改写、四种命题之间的关系、命题的否定、逻辑联结词与量词、充分必要条件的判断、全称命题与存在性命题的关系等，在高考中常常结合高中数学中其他章节的知识进行考查，具有一定的综合性，常以填空题的形式出现.

重点知识梳理

一、集合的概念、关系与运算

1.集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.在应用集合的概念求解集合问题时，要特别注意这三个性质在解题中的应用，元素的互异性往往就是检验的重要依椐.

2.集合的表示方法：列举法、描述法，有的集合还可用Venn图表示，有些集合可用专用符号表示，如N，N，N+，Z，R，Q，等.

3.元素与集合的关系：我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，若元素x是集合A的元素，则x∈A，否则xA.

4.集合与集合之间的关系：

（1）子集：若x∈A，则x∈B，此时称集合A是集合B的子集，记作AB；

（2）真子集：若AB，且存在元素x∈B，且xA，则称A是B的真子集，记作：AB；

（3）相等：若AB，且AB，则称集合A与B相等，记作A=B.

5.集合的基本运算：

（1）交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}；

（2）并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}；

6.集合运算中常用结论：

（4）由n个元素所组成的集合，其子集个数为2ⁿ个；

（5）空集是任何集合的子集，即A.在解题中要特别留意空集的特殊性，它常常就是导致我们在解题中出现错误的一个重要原因，要避免因忽视空集而出现错误.

7.含参数的集合问题是本部分的一个重要题型，应多根据集合元素的互异性挖掘题目的隐含条件，并注意分类讨论思想、数形结合思想在解题中的运用.

二、命题及其关系

1.命题的概念：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.

2.四种命题的相互关系：

4.在判断命题真假的问题中，一方面可以直接写出命题进行判断，也可以通过命题的等价性进行判断，即原命题与逆否命题等价，否命题与逆命题等价.

5.充分必要条件的判断是本部分的一个重要题型，在解题中应注意：

这两种说法是在充分必要条件推理判断中经常出现且容易混淆的说法，在解题中一定要注意问题的设问方式，弄清它们的区别，以免出现判断错误；

（2）要善于举出恰当的反例来说明一个命题是错误的；

6.证明p是q的充要条件：

（1）充分性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q；

（2）必要性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p.

三、逻辑联结词与量词

2.全称量词与存在量词：命题中的“对所有”、“任意一个”等短语叫做全称量词，用符号“”表示；“存在”、“至少有一个”等短语叫做存在量词，用符号“”表示.

含有全称量词的命题叫做全称命题，全称命题：“对M中任意一个x，有p（x）成立”可用符号简记为x∈M，p（x）.

含有存在量词的命题叫做存在性命题，存在性命题：“存在M中任意一个x，使p（x）成立”可用符号简记为x∈M，p（x）.

3.全称命题与存在性命题的关系：

典型例题剖析

题型一 集合的概念与运算

例1 设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B={1，2}，则A∩B等于 .

解析：由已知可得，集合A是集合{-2，-1，1，2}的非空子集，则A∩B=或{1}.

小结：本题考查了映射的概念及集合的交集运算.通过逆向思维，将所有可能出现的集合A中的元素用列举法列出，求两个集合的交集即可.

例2 若A={1，3，x}，B={x2，1}，且A∪B={1，3，x}，则x= .

解析：由已知得：BA，所以x2∈A，且x2≠1.当x2=3时，x=±3，经检验都符合题意；当x2=x时，x=0或x=1，经检验x=1舍去，所以，x=0，x=±3.

小结：集合中元素的属性，交并补的运算在高考中也经常出现.本题易错的原因是不考虑元素的互异性或考虑问题不全面.

例3 已知集合A={x|x2-x-2≤0}，B={x|2a

解析：由题意得，A={x|-1≤x≤2}，当2a≥a+3，a≥3时，B=，此时A∩B=；

当a<3时，2a≥2或a+3≤-1，即1≤a<3或a≤-4，A∩B=.

综上所述，当a≥1或a≤-4时，A∩B=.

小结：以集合语言和集合思想为载体，考查函数的定义域、值域，方程，不等式，曲线的相交问题.解决有关A∩B=，A∪B=，AB等集合问题时容易忽略空集的情况而出现漏解，因此，我们要关注好分类讨论思想的应用.

题型二 命题与逻辑联结词

例4 设a，b是向量，命题“若a=-b，则|a|=|b|”的逆命题是 .

解析：利用原命题和逆命题之间的关系“如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的逆命题.即原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p”，故答案为“若|a|=|b|，则a=-b”.

小结：判断命题的四种形式的关键是准确把握命题的条件和结论，然后根据命题的四种形式进行判断即可，并注意互为逆否命题的两个命题是等价命题，可用其判断命题的真假.

例5 已知命题p：关于x的方程x2-x+a=0无实根；命题q：关于x的函数y=-x2-ax+1在[-1，+∞）上是减函数.若

q是真命题，p∨q是真命题，则实数a的取值范围是 .

解析：若命题p为真，则有Δ=（-1）2-4a<0，解得a>14；若命题q为真，则有-a2≤-1，解得a≥2.因为

q是真命题，p∨q是真命题，则命题q为假命题，命题p为真命题，所以实数a的取值范围是{a|a>14}∩{a|a<2}={a|14

小结：含逻辑联结词的命题的判断，其关键是两个简单命题真假的判断.本题先求出命题p，q为真时对应的参数的取值范围，然后根据这两个命题的真假情况分类讨论，利用集合的基本运算求解参数a的取值范围.

题型三 充分条件与必要条件

例6 设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“NM”的 .（填“充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分又不必要条件”）

解析：当a=1时，N={1}，此时有NM，则条件具有充分性；当NM时，有a2=1或a2=2得到a1=1，a2=-1，a3=2，a4=-2，故不具有必要性，所以“a=1”是“NM”的充分不必要条件.

例7 若a，b为实数，则“0

解析：当a>0，b>0时，由01a得不到0

小结：从近年高考题来看，充要条件多以填空题的形式出现，与函数、不等式、直线与平面、圆锥曲线等知识联系的很紧密，因此，理解充分条件与必要条件的意义，能够初步判断给定的两个命题之间的关系.

题型四 含有一个量词的命题的判断与否定

例8 命题“对任意x∈R，2x2-3x+1≤0”的否定是 .

解析：“对任意x∈R”是一个全称量词，对应的存在量词为“存在x∈R”，命题“对任意x∈R，2x2-3x+1≤0”是一个全称命题，其否定是一个存在性命题，即命题“存在x∈R，2x2-3x+1>0”.

小结：命题的否定是指否定这个命题所得出的结论，这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“>”的否定用“<”了.这里就要注意量词的否定形式.如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”.

知能提升训练

（作者：朱振华，江苏省海门中学）