对小学数学中极限思想的探讨

孙国元

关键词：小学数学；数学思想；极限思想

中图分类号：G623.5 文献标识码：B

文章编号：1009-010X（2013）08-0078-01

“双基”变“四基”是2011年版课标的一个标志性变化，于是，数学的“基本思想”和“基本活动经验”，成为了教育工作者研究、实践和追求的重要课程目标，并把数学思想提到了前所未有的高度，如数形结合思想、符号化思想、模型化思想、函数思想等等。有一次我在远程辅导批阅日志时，突然发现一位老师发散性地提到了极限思想。我对她的认识抱有异议，于是我们展开了讨论。

那位教师在日志中写道：现行小学教材中有许多处注意了极限思想的渗透。如在“自然数”、“奇数”、“偶数”这些概念教学时，老师可让学生体会自然数是教不完的，奇数、偶数的个数是无限多个，让学生初步体会“无限”思想，在循环小数这一部分内容中，1÷3=0.333……是一个循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的，是无限的，在直线、射线、平行线的教学中，可让学生体会线的两端是可以无限延长的。她还说：前些日子我发的一帖（论坛中）：射线是射出去的线吗？当学生提出“喷水枪射出的水也是射线”时，其实就是给学生渗透极限思想的最好生成资源。只是那时还不知道极限思想需要老师精心地去培养，细心地去呵护。

看到这两段话，我认为她在极限思想的认识上有很严重的误区，于是在评语中写到：借鉴别人的东西要用自己的头脑思考，不说你的观点错误与否，因为这不是你的观点。极限和无限是两个不同的概念，奇数、偶数的个数是无限多个，1÷3=0.333……是一个循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的，是无限的等等，严格地说，这些都不是极限思想，而是从有限到无限的思想。

原来她日志中的两段话是在网上看到的，如获至宝，便拿来结合学习内容谈自己的认识，其学习精神可以说十分可贵。我也在网上搜到了同样的结论，如“数学学习的九个思想方法”中的极限思想。但这并不能证明其正确性。于是我们进行了进一步的探讨和交流，最后达成如下共识。

以上观点只是体现了“无限”的观念，并不是真正意义上的“极限”， “无限≠极限”。如果说对上述无限过程的处理是对极限思想的渗透，那一定是错误的，是对极限思想的误解，更会对学生产生误导。所以，教师必须正确认识极限的概念。极限可分为数列极限和函数极限。

数列极限的标准定义：对于数列{Xn}，如存在一个常数a，对于任意的ε>0，总存在一个正整数N，使得当n>N时，Xn-a<ε成立，那么称a是数列{Xn}的极限。

函数极限的标准定义：设函数f（x），在|x|大于某一正数时有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正整数X，使得当x>X时，f（x）-A<ε成立，那么称A是函数f（x）在无穷大处的极限。

设函数f（x）在X0处的某一空心邻域内有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正数δ，使得当 fx- X0<δ时，f（x）-A<ε成立，那么称A是函数f（x）在x0处的极限。

上述概念是非常抽象的，在小学数学教学中涉及不到。需要理解和渗透的只是极限思想。也就是说：“无限≠极限”，无限的结果有两种可能，可能是收敛的，也可能是发散的。只有收敛的无限过程才能体现极限的思想。由于小学生的生活经验、数学知识还比较贫乏，他们只能通过一些具体的事例，逐渐感悟到什么是“有限、无限”、“无限地逼近”，为将来学习“收敛”这个数学概念积累一些感性的认识。因此，逐步理解“逼近”是形成极限思想的一个重要方面。

极限思想是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，它是事物转化的重要环节，了解它有重要意义。渗透极限思想实际上也是微积分思想的渗透。在小学阶段，如圆的面积、球的体积等公式的推导过程，体现了化曲为直、化圆为方的极限思想和方法，在通过有限想象无限，根据图形分割拼合的变化趋势，想象它们的最终结果。既使学生掌握了计算公式，又萌发了无限逼近的极限思想。还有循环小数中的0.999……=1等现象，这些认识过程，既可以增强学生的学习兴趣，又有利于学生对极限和量变质变思想的认识。这都是很好的渗透点。受年龄特征的制约，小学生对极限思想不会有深刻的理解，但这并不等于教师在小学数学教学中可以淡化对极限思想的渗透，相反应该抓住一切可以利用的契机加以渗透，为他们形成数学思想、提高抽象思维能力，以至将来学习极限理论奠定基础。

然而，培养学生的无限观念是形成极限思想的基础，离开无限谈极限是没有任何意义的。所以，也不应该因为“无限≠极限”而忽视对无限性的教学。

另外“喷水枪射出的水也是射线”这一生成资源要正确处理，从无限的角度说，它应该是抛物线（平抛）。如果说是给学生渗透极限思想最好的生成资源，那么它一定是反面教材。