5x是一个“整体”吗

张艳红

摘 要：以往遇到解方程36÷5x=2，数学老师们毫无疑问地把5x看做一个整体。但是笔者在金陵晚报上看到了相关的讨论，认为5x是5×x的简写，按照四则运算的顺序应该是先除后乘，引起笔者的思考，为什么要把5x看作一个整体。经过多方求助，明确了把“5x”看作一个整体的原因。和“从左到右”和“先乘除、后加减”一样，都是一种人为的关于数学符号语言的规定，目的在于尽可能减少算式中为说明各个运算的顺序所用的括号。通过对这一问题的探索，使笔者明白数学教学应留心有关数学史料，从而帮助学生尽可能的理解某一规定背后的原因，让学生更好地认识和理解这样的规定，体会规定的合理性与必然性。

关键词：约定俗成；四则运算；括号；5x；整体

在数学六年级中解方程36÷5x=2，都是把5x看成除数，解答方法如下：36÷5x=2，5x=36÷2，5x=18，x=3.6；但是一次在金陵晚报上我看到过类似此题的解法，引发了小学、中学甚至大学老师们的争论，说5x是5×x的简写，这道题完整的写法应该是36÷5×x=2，根据同级运算应该按照从左到右的顺序，应该先计算36÷5=7.2，然后是7.2x=2，x等于十八分之五。但是和同事交流的时候，没有人同意报纸上的看法，大家还是说要把5x看作一个整体进行计算，所以我很疑惑，到底谁对谁错呢？

我首先想到的是向教研员求助，得到的回复是：对于这样的写法没有明确的具体规定，按习惯是把5x看作一个数。在中学的方程中是不会出现这样的形式的，有除法时都是写成分数形式，他建议回避，有除法直接写成分数形式。看了回复，我对如何在课堂上教学有了明确的思路，要把5x看作一个整体。

但为什么要把5x看作一个整体呢？我还是没有找到明确的依据，接下来，我求助特级教师，特级老师告诉我，把5x看成一个整体，这在小学数学中是约定俗成的。约定俗成是指事物的名称或社会习惯往往是由人民群众经过长期社会实践而确定或形成的。 《荀子·正名》中说：“名无固宜，约之以命，约定俗成谓之宜，异于约则谓之不宜。”为了进一步弄清为什么把5x看作一个整体是约定俗成的，我翻查资料，终于在《小学数学疑难问题研究》中“四则混合运算为什么要规定从左到右、先乘除后加减？”一文中得到了启示。

加减乘除四种运算统称“四则运算”。如果一个算式中包含两种或两种以上的这些运算，则称为四则混合运算算式。一般的，有了结合符号（如，各种括号），我们就可以根据需要，表达出四则混合运算算式所要求的任何一种运算顺序。如下面的算式包含三个运算15×4+16÷4，适当运用括号，可以表示出实施这三个运算的任何一种顺序。三个运算共有六种不同的运算顺序。下面是其中的三种：先乘后加再除，[（15×4）+16]÷4，先除后加再乘，15×[4+（16÷4）]，先加再乘后除，[15×（4+16）]÷4。

在表达四则混合运算的算式中各个运算应有的顺序时，为了尽可能少用一些括号，人们对运算顺序做出了以下几点规定：

（1）“从左到右”：在一个没有括号的算式中，如果只有加减法，或者只有乘除法，则从左到右依次计算；

（2）“先乘除、后加减”：如果没有括号的算式中既有加减法，又有乘除法，则先做乘除法，再做加减法；

（3）在一个有括号的算式中，先按上述规定计算括号里面的式子；

（4）有几层括号时，从里到外依次计算。

由此，上述三个四则混合运算的算式可以化简为：先乘后除再加，（15×4+16）÷4，先除后加再乘，15×（4+16÷4），先加再乘后除，15×（4+16）÷4，另三种运算顺序可分别表达为：先除后乘再加，15×4+（16÷4）；先乘后除再加，15×4+16÷4；先加后除再乘，15×[（4+16）]÷4。这六种不同的运算顺序平均只需用一对括号就能表达清楚。如果没有这些规定，平均就得用兩对括号才行。

至于为什么要规定“从左到右”，而不是“从右到左”，可能是为了使这种没有括号并且只有加减法或者只有乘除法的算式的运算顺序与算式的书写顺序相同。于是，“{[（a+b）-c]+]}-e”中的括号可以全部省略，写成a+b-c+d-e；但算式“a+{b-[c+（d+e）]}”要保持原定的运算顺序，其宗的三对括号一对也不能省。

规定了“先乘除，后加减”之后，（15×4）+（16÷4）中的括号可以省略，把它写成15×4+16÷4；而（15+4）×（16-4）中的括号则不能省。如果当初的规定不是“先乘除、后加减”，而是“先加减，后乘除”，则前一个算式中的括号不能省，后一算式中的括号可以省去。

“从左到右”和“先乘除、后加减”都不是以客观规律为基础的定理或定律，而是一种人为的关于数学符号语言的规定，目的在于尽可能减少算式中为说明各个运算的顺序所用的括号。

像“从左到右”和“先乘除、后加减”这样人为规定的知识，在数学知识体系中占有一定的份额，教师也都因为其“规定性”，觉得没有什么道理可讲，就直接告诉学生了。这样的教学，表面上看，学生也能接受教师的“告诉”，但时间长了，学生习惯了接受，就会产生这样的想法：老师这样告诉我们的，我们就这样去记，记住了就能做对题目了。显然，从促进学生持续发展的角度来看，这样的教学就远远不够了。

其实，很多数学规定从产生到被普遍认可都有一个曲折而漫长的过程，怎样规定更合理都有其内在的原因，并不是轻描淡写的一句“数学上规定”就能解释的。我们需要留心有关数学史料，提高自身文化专业知识，当学生有可能理解某一规定背后的原因时，不妨给学生创造条件，让学生更好地认识和理解这样的规定，体会规定的合理性与必然性。

参考文献：

[1]方金秋.小学数学疑难问题解答[M].广州：广东人民出版社，1983.

[2]李晓亮.荀子[M].济南：齐鲁出版社，2006.

（作者单位 江苏省南京市栖霞区实验小学）