浅议高中数学问题中的“潜台词”

翟荣俊

“潜台词”是指在某一话语的背后，所隐藏着的那些没有直接、明白表达出来的意思。数学中的很多定义、公式、法则、概念等都有其成立的前提条件。但综合到数学题目中，这些条件有的已给出但不明显，有的没有给出却渗透在题意中，我们可以称之为数学问题中的“潜台词”，也就是我们常说的隐含条件。隐含条件具有隐蔽性，解题过程中学生比较容易忽略，导致解题错误.要正确解答此类问题，除要掌握扎实的数学基础知识外，还需要不断归纳总结其运用的一些规律，做到防而有备，提高解题能力.

一、注意题目中蕴含的潜台词，提高解题的准确性

有些学生在获取知识的过程中，对隐含条件重视不够，得出的解题过程或结论往往是有缺陷的，这就需要我们教师利用一切的机会来加强引导工作.

例1 设平面上点P、A、B满足│AB│=4，│PA│+│PB│=4，判断点P的轨迹.

学生错解：点P的轨迹是以A、B为两个焦点、长轴长为4的椭圆.

错误原因：没有注意到│AB│=4=│PA│+│PB│，“潜台词”是它不满足椭圆的定义，所以点P的轨迹应是以A、B为端点的线段.

问题反思：涉及到概念、定义，一定要考虑有没有特殊规定，如此处由椭圆的定义应该有2a>2c的规定.

例2 不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4<0对x∈R恒成立，求实数的取值范围.

学生错解：

错误原因：在解决问题时，没有注意到本题没有说不等式是一元二次不等式，“潜台词”是二次项系数可以为0，少考虑了a-2=0的情况，正确结果应该是-2

例3 已知 ，求siny-cos2x的最大值。

学生错解：由已知条件有

∴

∴sinx=-1时取得最大值为

错误原因：本题学生都能通过条件 将问题转化为关于sinx的函数。而本题的“潜台词”在于siny= -sinx

转换时，要注意 结合sinx∈[-1，1]，

可得 .

∴最终应该是 时，原式取得最大值为 .

小结：在数学解题中，学生应不断提高自己的审题能力，发现问题中蕴含的“潜台词”，加强对数学定义、基本方法的理解，培养思维的严谨性，这样才可以不断提高自己数学解题的正确性.

二、主动挖掘问题中的“潜台词”，拓展数学解题思路

有些学生在解题时常常不知如何下手，有时甚至觉得题目条件不够，这就需要我们善于引导学生从题目涉及的已知条件、基本概念、公式、定理、性质或图形中挖掘问题的“潜台词”，进而找到解题的思路.

例4 函数f（x）=x2+ax+1，已知f（x2），求f（x1+x2）的值.

学生疑问：本题中出现了一个干扰字母a，导致很多学生感觉题目缺少条件，对于条件f（x1）=f（x2）又不明白其给出的作业，不知如何下手解决.

问题引导：对于二次函数，学生应该熟悉其具有的对称性，根据f（x1）=f（x2）其实可以得出函数f（x）的对称轴是直线。

本题的一个“潜台词”是f（0）=1，而根据二次函数对称性可知f（x1+x2）=f（0）=1.

例5 已知f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，且其定义域为[a-1，2a]，求a+b的值.

学生疑问：感觉求出字母b的值为0比较容易得到，但是对于字母a感觉缺少条件.

问题引导：仅仅由，显然不足以确定和的值，还需要挖掘出偶函数的定义域关于原点对称这一“潜台词”，即有

.

例6 如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线

对称，求实数a的值.

学生疑问：函数y=Asin（ωx+φ）的对称轴一定经过图象的波峰顶或波谷底，且与y轴平行，而对称中心是图象与x轴的交点，但是将 代入函数时，不能判断是经过最大值点还是最小值点，导致解题出现困惑.

问题引导：本题的关键是函数图象关于直线 对称，可以考虑特殊情况，“潜台词”是可以利用函数对称，考虑

，代入即得a=-1.

三、主动探究数学问题中的“潜台词”，提升数学解题的严密性

例7 已知函数f（x）=ax3+3x2-x+1在x∈R上是减函数，求a的取值范围.

学生疑问：课本中有f'（x）<0（x∈（a，b）），则f（x）在（a，b）内单调递减.

如果利用此结论，考虑到本题f'（x）=3ax2+6x-1<0在x∈R恒成立，故 解得a<-3，但是结果却是a≤-3，为什么？

问题引导：本题在解题过程中，要抓住的“潜台词”是f'（x）<0（x∈（a，b））是f（x）在（a，b）内单调递减的充分不必要条件，而不是充要条件。如果函数f（x）可导且不是常函数，则f（x）在（a，b）内单调递减的充要条件是f'（x）≤0（x∈（a，b））.

对于本题，函数f（x）可导且不是常函数，应该f'（x）=3ax2+6x-1≤0是在x∈R恒成立，所以有 ，结果是a≤-3.

总之，如果在教学过程中，我们如果能经常对学生进行科学引导他们发现、挖掘和探求数学问题中的“潜台词”的训练，就能更好地培养学生的思维的严谨性、发散性和完整性，从而达到提高解题能力的最终目的。

（作者单位：江苏省无锡市洛社高级中学）