培养分类讨论能力让学生具备创新精神

温瑜锋

初中数学中的分类讨论问题，是近年来中考的热点内容之一。本文从抓住分类讨论的动因与讨论的方法入手，讲述了怎样在初中数学教学中实施分类讨论问题的教学。

在初中数学中，有关涉及分类讨论思想的问题很多，题目也比较繁杂。这类问题有没有一种共性？在此，笔者总结了四点。理解之后，当碰到问题时基本上能够抓住分类讨论的动因从容应答了。

一、由于问题本身考查分类讨论思想概念导致应用分类讨论

（1）教师应对初中数学中的概念有全面、系统、完整地认识，尤其是涉及分类讨论思想的概念。曾听说过这样一个事例：某教师在讲授绝对值这一概念时，图一时的省力，教学生求一个数的绝对值只要把绝对值里面的负号去掉就可以了，如：|3|=3，|-0.5|=0.5，……结果出现了像|a|=a这样的错解。究其原因，该教师没讲清绝对值这一概念，让学生对这一概念有了一个错误的认识：求绝对值只要去掉绝对值里面的负号。把学生引入歧途，害人不浅。这个问题要讲清楚，就需要分类讨论思想。该教师讲授的绝对值的概念非但错误，而且也抹杀了学生的创新精神和探索精神。所以，教师对概念的讲解必须准确、科学，特别是涉及有关分类讨论思想的概念，要让学生对这样的概念有正确的认识、理解。

（2）让学生牢固掌握初中数学中有关涉及分类讨论思想的概念。要达到这一目的可以采用讨论式归纳出概念、教师加以归纳精炼和增加变式训练的教学方法。如，初中数学中两圆的五种位置关系是一个分类讨论思想的概念。在讲授两圆位置关系这一课时，教师可让学生准备大小不等的两个圆，让学生自己动手操作、归纳出两圆（半径不等时）有哪几种位置关系。教师再加以归纳总结，得出两圆（半径不等时）的五种位置关系：相离（外离、内含）、相切（外切、内切）、相交。这样既培养了学生的探索精神，又有助于学生牢固掌握两圆的五种位置关系。

二、由于问题解决过程中出现各种不同的情况而需要对其分类讨论

例如：二次函数y=x2+2x，y=x2-2x+1，y=x2-2x+2. ①每个图像与x轴有几个交点？②它们各有几个根？

根据分类思想，将△大于0、小于0、等于0的各种情况进行考虑，可得出结果：①2个，1个，0个。②2个根，1个根，无实数根。由以上一例，我们知道解此类问题的关键是审清题意。审题是解题的重要一环，在教学中应强调审题的重要性。教师在讲解例题时，应作出认真审题的示范，让学生了解解题时的正确思路，提高正确率。

三、由于问题中带入变量参数的不同而有不同的结果需要对各个结果进行分类讨论

例如：已知一次函数y=-x+8和反比例函数y=k/x （k≠0） ，①k满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标平面中的图像有两个交点？②设①中的两个交点为M、N，试比较∠MON与90°的大小。（中考题）

本题第①小题求得k<16且k≠0；在解第②小题时，由于090°。

数学本身的产生与发展充满了朴素的辩证唯物主义思想，揭示了唯物辩证法的许多基本规律，如量变到质变等。本类分类讨论问题就是揭示了唯物辩证法中的量变到质变这一基本规律。在本类问题的教学中，要做到使学生能分析清楚问题中参变量在整个量变过程中会造成哪些质的变化，即参变量的不同取值会对问题产生的哪些不同结果，把它们一一罗列出来，全面、系统地分类，并能正确求解。这是建立在有良好的知识结构和灵活、开阔的思维基础上的。教学中，要注意培养学生一丝不苟的学习精神、严谨的科学态度和辩证唯物主义的观点，充分发挥学生的聪明才智。

四、由于问题中几何图形的不确定而需要对其进行分类讨论

例如：等边三角形OBC的边长为10，点P沿O→P→C→O的方向运动，⊙P的半径为，⊙P运动一圈与△OBC的边相切多少次？每次相切时，点P分别在什么位置？（图略）

本题极易漏解，原因是没有想到本题要分类讨论。本题需要考虑3种情况，即点P在OB或OC上时，点P在OB或BC上时，以及点P在BC或OC上时。通过分类讨论即可得出：运动一圈，⊙P与△OBC的边相切6次；⊙P与△OBC相切时点P的位置分别是PO=2（点P在OB或OC上），PB=2（点P在OB或BC上），PC=2（点P在BC或OC上）。

此类问题不仅是考查学生的思维能力，同时也是对于学生图形认知能力的考查。在分类讨论的同时，教师也应培养学生抽象思维能力，提高数学做题技巧。

结语：在初中的数学学习中，教师应着重培养学生分类讨论能力，提高学生思维的条理性、科学性、缜密性，让学生具备真正的创新探索精神。在教学中，我们要多研究、多实践、多探索，让学生更好地掌握好初中数学中的分类讨论思想。

（广西贺州市沙田镇第一初级中学）