从三个层次培养学生的数学建模能力

何龙

摘 要：作为解决实际应用问题的主要能力——建模能力也逐渐被高中数学教学所重视，对建模能力的研究日渐深入。这里以“货币时间价值模型”的建立为例，分析数学建模能力的三个层次，探讨在高中教学中如何培养学生的数学建模能力。

关键词：三个层次；培养；建模能力

高中数学教学加强应用能力的培养已获得全社会的共识，教育部2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验稿）》把发展学生的数学应用意识作为课程的基本理念之一，要求高中数学大力加强数学应用和联系实际，增强学生的应用意识，扩展学生的视野。作为解决实际应用问题的主要能力——建模能力也逐渐被高中数学教学所重视，对建模能力的研究日渐深入。这里我们以“货币时间价值模型”的建立为例，分析数学建模能力的三个层次，探讨在高中教学中如何培养学生的数学建模能力。

一、数学建模能力的三个层次

数学建模能力指对问题做相应的数学化，构建适当的数学模型，并对该模型求解返回到原问题中检验，最终将问题解决或作出解释的能力。需要说明的是，问题可以是现实的应用问题，也可以是纯数学问题；可以是常规，也可以是非常规的；可以是封闭的，也可以是开放的。荷兰著名数学家汉斯·弗洛登塔尔认为，公理化、形式化以及模型化等这些发展数学的过程统称为数学化，即数学化就是运用数学的思想方法来分析和研究客观世界的种种现象，并加以整理和组织的过程。数学模型是现实世界当中某一类运动变化过程及结构，一种模拟性的数学结构，是对现实模型理想化，是一种科学的抽象过程。

为了探索数学建模能力的结构层次，我们设计了构建货币的时间价值模型逐层深入的3个问题在我校（地级市一中）的高一、高二、高三各选2个班级加以测试。

1.问题1：初始本金a元，年利率为x，试探求n年后本利和An公式。

高一年级2个班108人中正确导出复利公式（模型）有96人，正确率为88.8%。在课本没有涉及金融投资知识，教师也没有讲过该公式的前提下，能有这么高的正确率出乎笔者的意料。通过座谈发现一部分学生是通过课外阅读记忆获取该模型公式；另一部分人则通过存款观察并通过对本问题思维运算获得的。而没有得出公式的学生既有语言理解能力上的不足，也有缺乏想象创造力的错误，当然也有数学抽象归纳能力上的欠缺。笔者认为数学建模能力是有结构层次的，初层结构是由观察力、阅读力、想象力、思维能力等基本能力组成，其中以思维能力为核心。

2.为了探索建模能力是否存在第二层次，对问题1进行深化处理得到问题2：如果利息不是一年结算一次，而是一年结算多次，初始本金a元，年利率为x，试探求n年后本利和Bn公式。

高二年级2个班111人中正确导出一年结算m次，有52人，正确率为46.8%。其中较为典型的解法是，首先对实际问题进行数学化处理，令利息一年结算m次，n年后共结算mn次，再进行建模解模的探析，联想每年结算一次复利公式，得到初始猜想，在赋值上发现错误，对照有，从而将模型调整为，并由数学归纳证明结论正确。由此可以看出，正是在初层结构的基础上，学生通过数学化达到构建模型和求解模型的，将实际问题归结为数学模型，因而笔者认为数学建模能力有第二层次，即中层结构（具体能力层）问题的数学能力，建模解模的实践能力。

3.为了继续探求数学建模能力的结构层次，笔者对问题2进行抽象形式化处理得到问题3：试对问题2进行分析，从中你能得到什么样的投资结论。

高三年级2个班109人，仅16人能基本回答正确，正确率约为14.7%，这从一定程度上说明当前的高中学生缺乏应用问题的训练，尤其是问题的数学模型不止一个时就会束手无策，教学中应加大数学建模培养力度。典型的解法是立足于问题2的模型，又构建了问题的新模型——二项式模型，展开

通过逐项比较不难得出，即ym随m单调递增，又得到结论：m越大，越大，即每年结算利息的次数越多，银行付出的本利和越多，对储户越有利（银行应避免该状况发生）。学生对上述问题的解决是在中层结构基础上，交叉运用了逻辑思维和运算分析最终上升为一种问题解决的综合能力。这应该是数学建模能力的归宿——高层次结构。

二、从三个层次在高中数学教学中培养学生的数学建模能力

1.既然数学建模能力基础（初层）是由诸多能力因素构成的，因此日常教学中就要有意识地进行针对性的渗透培养。构建系列有相当针对性的现实应用问题供建模教学使用，当然问题一方面要体现建模过程的特点，即问题的数学化，抽象简化，建模求解，检验修改（循环迭代）的过程；另一方面要避免传统文字应用题的通病——已将数学化过程甚至建模过程完成，问题不含多余干扰信息，条件不多不少，目标指向清楚，只需设出未知数列等式或不等式就可得到问题的解。

我们仍以“货币时间价值模型”为例，教学中通过下面系列问题训练是培养学生的数学建模能力的基础。

（1）以每股8.15元购进股票10万股，一年后以9.05元抛售，该年银行月利率为0.2%，按月计算得利，请判断该投资行为是否合理？

（2）某人将全年固定收入的结余部分，每年年终存入银行，银行年利率为3.8%（计复利），计划五年后不再工作，而储蓄所得利息恰等于现在每年的开支，问所存金额为其年收入的百分比。

（3）某人年初向建行贷款20万用于购房，年利率为7%，按复利计算，若这笔贷款分15次等额归还，每年还1次，15年还清并以贷款后次年初开始归还，问每年应还多少钱？

（4）某公司为了增加流动资金推出新的促销方式，将原售价50万元的房产用新方式出售，即该公司与买方签订有银行担保的书面合同，买方一次性支付该公司60万元，不但能得到房产权，而且该公司履行满15年一次性返还买方60万元，试问买方的在新的促销方式中可少支付多少万元，按银行五年期存款的年利率为5%作计算基准，15年可以连续存三个五年期。

需要注意：数学建模中的模型背景要尽量简化，专业术语要较少，问题要有趣味性，应易激发学生的好奇心和兴趣，利于学生主体参与和创造意识的培养。现行课本中有许多现成模型需要挖掘重视，如，等比数列求和公式（上述问题中有诸多涉及），只要教学中充分挖潜，作不同的导向，就可演变成一个好的建模问题，这是建模教学中宝贵的问题源，要高度重视。

2.应该承认数学建模能力中层结构的地位是决定性的，它既联系着初层结构，又影响高层次结构的完成，教学处理极为关键。笔者认为在教学中应注意两个方面：（1）突破阅读理解关。现实应用问题的数学化和建模过程取决于学生能通过阅读理解将文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数量关系并自觉将应用问题的数学化过程按理解的深度与广度结合体的感觉、知觉、记忆、思维等特点，组成一个具有内部规律的整体——应用问题的认知结构时才能合理完成。这里阅读理解往往在很大程度上制约数学化的过程。美国阅读心理学家史密斯认为阅读心理有四个逐步深入的层次——字面的理解、解释、批判性阅读、创造性阅读，这里实质也是数学建模能力培养的一个组成部分，教学中要培养学生具有较高的阅读联想、阅读思维、阅读情感素质。（2）加强学生的运算（特别是近似计算）能力的培养。构建模型带有很大的灵活性和实用性，需要较高的运算素养。教学中应力戒将问题的模型构建完毕就不屑一顾的做法，对学生而言有时候解模往往会力不从心。例如，对前面列举的问题3，有学生这样获取模型：设贷款b，每年等额归还a元，第一年后欠款b-a，第二年后欠款，第15年后欠款。笔者在高二年级2个班111人中能正确运算得到结果只72人，不能合理运算已阻碍学生建模能力的形成，教学中要下大力气突破。

3.数学建模能力的终极是一种综合的问题解决能力，因而建模教学中要注重学生思维活动的发散性和创造性的培养，促进学生在同化——顺应的整合过程中形成合理的新建模结构，突出学生的多种思维指向作用，而不是一味地纳入教师的思维框架中，避免抑制学生建模能力中创造能力与主体意识的培养。由于建模能力形成的长周期和培养点为多角度、多渠道、多观点、多层次，寻求建模能力的解决点，以完成知识为载体、思维为核心、能力为体现的三者和谐统一。例如，从问题1出发鼓励学生思维触角立体式搜索，完成问题（1）～（4）的解决，并可将问题迁移到债券的价值问题得到系列模型：设n年期债券，存款年息利率为x，每年付利息a元，面值为A元，则债券价值为Y=a+A，其中，为使债券面值与现值一建立数学模型不完全是为了解决模型的原问题，更有意义的还在于解决具有原型特征的其他许多实际问题，例如上述模型，我们可以建设性解决以下几类问题：现值Y、利率x、面值A的确定等，这样教学才会有利于学生形成建模能力的最高层次。

数学建模能力的结构层次是相互联系的，下层为上层基础的同一体，层次上有时不能绝对区分，是相互渗透的，但只有搞清楚数学建模能力的结构层次，教学中才能有的放矢地培养，学生的数学建模能力才能从本质上得到提高。

参考文献：

[1]郑庆全，汪文龙，田玉杰.数学与数学建模：培养创新能力的内容载体和实践载体.数学教学研究，2010（12）.

[2]叶其孝.中学数学建模.湖南教育出版社，1998-09.

（作者单位 福建省南平第一中学）