“平行四边形与梯形”教学中的相异构想及其转变

丁杭缨

知道学生已经掌握哪些数学知识点不是最重要的，因为那是知识的逻辑起点，书上有章可循；学生头脑中形成的对数学概念的看法观点和思维方式是关键也是最难以被发现的，西方学者称之为“前概念”，前概念有时和正确（科学）概念并无冲突，有时则与正确认识和思维方式大相径庭，这种偏离或背离正确概念的错误思维结构即“相异构想”，它会阻碍学生理解和掌握数学概念，干扰学生后继形成的正确观念，对学习的影响是消极的。教师在进行教学设计前的首要任务是广泛了解学生关于这个知识点的形形色色的相异构想，分析其背后的原因并从中找到规律性的东西，然后重组教材，通过适当的教学策略对相异构想进行补充、修正，促进知识的逆向迁移，真正体现“以学定教”的思想。

本文选择人教版四年级上册第四单元“平行四边形与梯形的认识”为例的原因，是很多教师觉得这节课比较尴尬：一方面，三年级上时已经借助分类初步认识四边形、平行四边形，通过周长的计算对长方形和正方形的边长特征记忆深刻；另一方面，本节课平行四边形与梯形、四边形的关系，平行四边形易变形等多个知识点同时出现，应该如何把握知识的前联后延？哪些问题会成为学生学习的障碍？例1和例2的内容怎么整合？学习的重点与难点如何理清？

解决上述问题的唯一途径是摸清学生关于梯形和平行四边形知识的相异构想会有哪些？要比较全面清楚地知道学生的相异构想需要用到更科学的手段，下面是关于“平行四边形与梯形”的问卷设计与数据说明（参与调查的是三年级下的67名学生）。

1.在格子图中画出你已经认识的平面图形，并标上它们的名称。

64%的学生画出5个以上图形，其中包括梯形、菱形；36%的学生画出的图形个数少于4个，且不知道梯形、菱形。

2.如果要把你刚才画的所有图形分类，你会分几类？这样分的理由是什么？每一类里分别有哪些图形？

3.你能说清楚长方形、正方形、平行四边形、四边形，四者之间的关系吗？（可以用文字，也可以用图表示）

18%的学生能用图式表示四者之间的关系，其中正确率为83%；12%的学生用文字表述“正方形、长方形、平四边形都是特殊的四边形”等含义；剩下70%的学生无从表达，强调了4条边4只角，其中有2位学生回答“正方形和长方形拉一下就变成平行四边形”。

4. 4根一样长的小棒围四边形，尽可能多地画出它们的样子（草图）。

60%的学生画了正方形或一种（角度为60°与120°）菱形，少见其他形状的菱形；剩下40%的学生除了正方形，还画出了梯形、长方形和邻边不相等的平行四边形。

5.你认识下面的图形吗？请写出它们的名称。

它们相同的地方有（ ）。

6.第4题中两个图形怎样改才能成为平行四边形？（直接画在原图上）

仔细观察，你能找到修改前和修改后两个图形的相同地方有（ ）；不同的地方有（ ）。

85%的学生能完全正确地通过添加或切割的方法把梯形改成平行四边形；修改前后两个图形的相同点：61%的学生认为4条边和4个角，剩下的就是空白或其他；不同的地方：31%学生认为两图形样子不同，68%的学生没有答案，一个学生发现“修改后对称的边是平行的”。

不难发现，三年级的学生对平行四边形和梯形的认识带有表面性、片面性、主观性且自我中心化的特点，所形成的相异构想存在“几类概念之间混淆，概念内涵模糊不全面，错误认识概念的外延”的共性，具体表现为以下5个方面：1.观察图形时形成比较固定的思维方式即以边的条数和角的个数作为标准，不能从其他角度思考（不排除平行与垂直的知识点还未学过的因素）；2.不会主动把平行四边形和梯形建立联系，就单个图形孤立讨论，不习惯在比较中建构新知；3.梯形的表象比较单一，对类似第5题中第2个图形的表象很模糊，抓不准梯形的主要特征；4.平行四边形易变形的理解局限在能否拉动，不能从数学角度体会易变形的内涵；5.关于四边形的空间观念的建立比较单薄、孤立，不能从运动变化等多角度建构四边形的知识网络。

基于上述分析，教学设计时可从以下三方面展开：

1.重组教材，关注知识的前联后延。传统的课时划分是以完整的一个例题作为一课时，学生在第一课时中认识平行四边形和梯形，平行四边形的易变形则在第二课时与平行四边形、梯形的高同时呈现，这样划分存在一些不合理的地方，即学生对平行四边形概念的外延认识是残缺的，人为地割裂使知识的建构不够完善。因此，可以在尊重教材基础上灵活安排，把平行四边形的易变形内容乃至梯形的分类提前至第一课时，便于学生在深刻理解平行四边形的基础上比较全面地架构四边形的知识网络，第二课时则关注两种图形的底与底所对应的高，重技能和各类四边形的联系变化等知识的拓展。

2.厘清重点、难点，修正学生的认知方式。教学目标固然是课堂学习的目的，但很多时候目的会停留于形式，教学目标有效性的标志是厘清学生学习的重点与难点。一般情况下，学习重点和难点各自独立存在，难得交织在一起；学习重点往往指向知识技能，而学习难点则针对学生的思维水平，如过程与方法的体验、思维方式的提升。因此，这节课的重点确定为“在比较中建立平行四边形及梯形的概念，正确表达各类四边形的关系，从数学的角度理解平行四边形易变形的特性”；难点则是“打破原有思维定势，从边的位置关系重构认识平面图形的视角，从数和形的结合丰富四边形的空间观念”。值得说明的是，每节课的教学重难点并不是只有一种标准答案，而是和所教学生的相异构想密切相关。

3.转变相异构想，促进知识的逆向迁移。相异构想的转变一般要满足4个条件：对现有概念不满、新概念的可理解性、新概念的合理性、新概念的有效性，因此，在教学设计时可以分环节突破。

环节1：通过认知冲突找准概念转变的起点。

【环节流程】回忆三年级已经认识的四边形→学生尝试在点子图上画几个不一样的四边形，分别说出它们的名称→观察并分析平行四边形和梯形的最大不同点→如何判断梯形一组对边平行、平行四边形两组对边平行→熟读书上关于平行四边形和梯形的定义。

【环节说明】认知冲突是概念转变过程的起点，做到这点很棘手，因为学生不会自觉地认识到自己原有的平行四边形和梯形的概念有不足，所以教师要千方百计尝试不同的方法让学生体会到原有概念的缺陷。方法1——点子图，它的最大作用不仅仅是便于学生比较准确地画图，更有利于学生迅速发现并抓住平行四边形和梯形边的特点。点子图把点、线、面关联起来。方法2——平行相关知识的运用，改变原有以边角为标准的判断方式，比较迅速地揭示平行四边形和梯形的特征，平行的判断把新、旧知识联系起来，并改变原有的思维方式。

环节2：新旧知识经验的双向作用充实或改造原有知识网络。

【环节流程】先说说每个图形的名称及特点，然后判断是否是轴对称图形，试着画出其中的一条对称轴→反馈（重点：菱形、直角梯形、等腰梯形的认识，正方形、长方形、等腰梯形、菱形是轴对称图形，而一般的四边形、平行四边形，除等腰梯形外的其他梯形不是轴对称图形）。

【环节说明】学生知道了平行四边形和梯形的定义并不表示他们已经掌握了概念，需要尽可能让学生经历“在原有知识经验基础上理解新知—根据新经验对原有知识体系作出调整和改造”两方面统一的过程。环节2借助轴对称图形的判别，使新旧知识经验的双向作用充实或改造原有知识网络成为可能。轴对称图形对平行四边形和梯形乃至其他四边形的特征认识起到了螺旋推进的作用，学生的知识结构在学习中得到了前联与后延。

环节3：让学生不断经历诊断、修正、解释，螺旋渐进地促进相异构想的转变。

【环节流程】想一想、画一画，4根相等的小棒能围成什么图形→观察这两个图形的区别，解析符合条件的菱形的不同形状→两两相等（两根相等、两根不等）的4根小棒可能围成的四边形形状→小结整理各类四边形之间的逻辑关系（如图1所示）→知识的判别与应用（如图2所示）。

【环节说明】有效的学习一定表现为积极性的、建构性的、累积的、目标指引的、诊断的、反思的。在环节3中，小棒的出现使图形的认识不仅仅局限在单一的形上，量的变化引起的形的变化更有利于学生多角度把握知识，小棒把数与形联起来；改变条件使图形之间发生转变，能进一步深化对图形特征的掌握，而且更有利于整体把握知识的脉络，从而形成知识的网状结构，条件的改变让形与形联系起来。同时，多次想象与绘画使学生不断地对已经建立的平行四边形和梯形的概念进行诊断、修正与解释，结合数据建立的空间观念不再是缥缈的。这个环节教师还把一些具体的认知策略（如复述、分类、做小结、列提纲、画示意图）渗透在学习内容中教给学生，强化学生的反思意识与习惯。

（作者单位：浙江省杭州市长寿桥小学教育集团长青分校）