行列式搭桥，妙解高考“解几”题

付春伟

摘 要：行列式具有简洁、对称、优美的特点，在高等数学中占据重要的位置，随着新课改的不断推进，行列式的基本知识已在高中选修教材中不断渗透. 本文就行列式解决直线方程、三角形面积、向量共线、三点共线等方面的问题做粗浅的分析，以起到抛砖引玉的作用.

关键词：行列式；解析几何；直线方程；三角形面积；共线

行列式是代数学中线性代数的重要分支，是解决线性方程组的解的重要工具. 在普通高中人教A版选修4-2教材中，就分别介绍了二阶行列式和三阶行列式在解决二元一次方程组和三元一次方程组的解的简单应用，彰显了行列式在代数运算中的简洁与优美. 本文从另一个视觉就二阶行列式、三阶行列式在高考解析几何中的应用例谈如下，供参考.

[?] 利用行列式求解三点共线问题

根据三角形面积的行列式表示，我们不难发现，当三点在一条直线上（即三点共线）时，这三点组成的三角形的面积为零，由此得到三点共线的充要条件.

定理4：已知平面上的三点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则三点共线的充要条件是：x1 y1 1

x2 y2 1

x3 y3 1=0.

例6 （2012年北京卷理科第19题）已知曲线C：（5-m）x2+（m-2）y2=8（m∈R）.

（1）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；

（2）设m=4，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y=1与直线BM交于点G，求证：A，G，N三点共线.

分析：本题作为解析几何的压轴题，第（1）问主要考查曲线与方程的关系，属于基础送分题. 第（2）问着重考查圆锥曲线中坐标关系的转化能力，属于朴实无华中彰显数学永恒魅力的好题. 如果采用常规办法通过定量运算对三点共线作定性分析，需要考生具备较强的运算能力，但利用行列式进行求解则可以简化运算步骤，提高做题质量.

解：（1）略.

（2）因为m=4，所以曲线C的方程为x2+2y2=8. 又因为直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M（xM，yM），N（xN，yN），所以联立直线与椭圆方程消去y整理得：（1+2k2）x2+16kx+24=0. 根据韦达定理知：xM xN=，所以xN=. 又因为M（xM，kxM+4），G（xG，1），B（0，-2）三点共线，所以xM 评注：行列式在解决三角形面积、直线方程、向量共线、三点共线方面具有独特的优势，值得探究.

总之，随着科技的迅猛发展和数学化的趋势，行列式在解析几何中的应用必将越来越受到人们的广泛关注和重视. 系统地研究行列式在解析几何中的应用，对于激发学生的求知欲望，培养学生的学习兴趣，巩固学生的基础知识，锻炼和提高学生的创新能力无疑是非常有益的，也是必要的.