发展创新意识 培养探究能力

于庆

新课程标准倡导积极主动、勇于探索的学习方式，把学习的主动权还给学生。这些提法每一位老师都不陌生，但是提了十几年，具有了“口号”和“教条”的嫌疑。本节课，我试图通过自己认为比较“实在”的课堂体现上述理念。

本节内容分3个板块：发现问题、提出问题——解决问题——巩固练习。第一板块放在课前，学生通过复习、自学，提出问题，尝试解决；第二板块，课上通过师生、生生互动，提出方案，解决问题；第三板块，属于数学课堂常见的“当堂练习”。

一、引入课题

师：同学们，我们已经学过了正弦、余弦函数的图像和性质，今天我们将类比正弦、余弦函数的学习方法，接着来研究另外一种三角函数——正切函数的图像和性质。正切函数的图像如何画？正切函数具有哪些性质？如何利用正切函数的性质解决问题？这就是本节课要达到的学习目标。

师：请大家拿出学习材料，要求课前完成的内容你已经完成了吗？在接下来的提问与回答中将会一一得到检验。

师：请大家先来说一说，我们已经研究了正弦、余弦函数的哪些性质？

生：定义域、值域（最值）、单调性、奇偶性、周期性。

师：请大家就这5个方向自己提出几个有关正切函数性质的问题。

师生互动：教师引导学生针对正切函数的性质自己提出问题，自己分析问题（从旧知入手，正切函数定义，周期函数定义，奇偶性定义、诱导公式等）并自己解决问题（说清问题的答案与理由）。对于旧知能解决并达成共识的问题如：定义域、奇偶性、周期等直接得到结论，对于旧知暂时解决不了的问题如：值域、单调性等先设置悬念。

二、探讨方案

师：对于我们不确定的有关正切函数性质的问题，你们能提出一个解决的方案吗？

生1：先画出函数的图像，再通过图像观察函数的性质。

师：图像直观体现性质，确实是一个很好的解决方案！那如何画出正切函数的图像呢？

生2：正切函数是周期函数，先画一个周期的图像，再平移得到其在定义域内的图像。

师：很好！那先画出哪个区间的图像更合适？

生3：（0，π）合适？（-π/2，π/2）更合适？

学生活动：教师引导学生达成共识，画图区间选择（-π/2，π/2）而非其它。

师：如何画出正切函数在区间（-π/2，π/2）的图像呢？

生4：直接描点比较困难，即使是特殊角的正切值，其坐标也很难准确找到。

师：研究一个函数之初，我们希望尽可能精确地做出函数图像，如何达到这个要求？

生5：可以借鉴正弦函数的描点方式，利用单位圆中的正切线描点。

师：发言的同学考虑到了我们已经得到的正切函数的一些性质例如周期和定义域，在描点前对部分性质进行研究使我们对正切函数的图像有了一个整体把握，从而减少了盲目性更加有效地作图，选择（-π/2，π/2）这个合理区间进行描点作图，而且连描点工具正切线也为我们准备好了。

师：对应到坐标系下，横纵坐标如何取？

生：可以先八等分半个圆周。在弧度制下，对应弧的长度即角的大小，而纵坐标即为正切线长，可通过平移得到。

三、动手画图

学生活动：让学生画图，亲自体验图像的形成过程，然后展示学生的作图成果。教师课件演示利用正切线作正切函数图像的动态形成过程。

师：有的同学在曲线两侧作了两条直线x=-π/2和x=π/2，请同学说说为什么这样做？

生：当角度越接近π/2，正切线向上越长，正切值越大，当角度达到π/2时，角的终边与垂线无交点，正切值不存在。图像的趋势是越来越接近直线x=π/2。当角度越接近-π/2，正切线向下越长，正切值来越小，当角度达到-π/2时，角的终边与垂线无交点，正切值不存在。图像的趋势是越来越接近x=-π/2，但永远不会相交。

师：由正切函数在区间（-π/2，π/2）的图像，如何得到正切函数在定义域上的图像？

生3：将图像向左、右依次平移π个单位即可得到正切函数在定义域上的图像。

师：我们将正切函数在定义域上的图像称为正切曲线。请大家观察正切曲线像什么？

生4：正切曲线像无数多条缓缓流动的小溪，无声无息，源远流长。

生5：应该是像从天而降的瀑布，飞流直下，一泻千里！

师：同学们很好地抓住了正切曲线的特征：由相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线，每支曲线向上向下不断靠近两条相应的直线。

师：画正弦、余弦函数的简图我们有“五点法”，请同学们思考如何快速做出正切函数在区间（-π/2，π/2）的简图？应该抓住哪些特点？如何称呼这种方法？

生：两线：x=-π/2和x=π/2，三点：（0，0），（π/4，1），（-π/4，-1）。

学生活动：用“三点两线法”画出正切函数的图像。

四、完善性质

师：现在我们可以借助正切函数的图像来研究我们之前没解决的问题如：值域、单调性等正切函数的性质了。

学生活动：从几何角度和代数角度两个方面分析正切函数的性质。可以从图像直观走向看单调性、是否对称看奇偶性、是否重复看周期性……

师：正切函数在每个区间都是增函数，可以说正切函数在整个定义域上是增函数吗？

生：不可以，单调性是局部性质，必须指明单调区间。（可类比反比例函数的单调性。）

五、运用性质

例：不通过求值比较正切值的大小

（1）tan 与tan （2）tan π与tan π

题后反思：如何不通过求值比较两个正切值的大小？

生：先利用周期性把角化到同一单调区间，再利用单调性比较同名正切值的大小。

六、归纳整理

请同学们回顾本节课所学的内容有哪些？学到了哪些主要数学思想方法？