问题驱动的高等数学中微分的教学设计

赵剑

摘 要：微分是高等数学中一个重要的概念，也是学生最难理解的概念之一，对于微积分的学习能起到承上启下的作用。由于概念比较抽象，涉及到极限、无穷小以及无穷小量的阶，初学者对定义难以理解。尤其是微分的定义为“增量的线性主部”，教科书中关于这种定义的合理性、必然性介绍较少，因此一直是高等数学教学中的一个重点和难点。本文通过对同济六版高数教材中的内容改进，从微观和宏观两个角度设计微分教学，微观教学部分注重微分定义的合理性和必然性，宏观教学部分则注重微分定义的思想内涵以及与极限、积分和级数的联系。

关键词：问题驱动式；教学模式；高等数学；微分；教学设计

问题驱动是指以“问题”为载体，通过一系列的“问题链”来引导学生自主学习、合作研究，使学生在解决问题的过程中得到进步，实现师生互动，达到提高学生综合素质的目的。

微分概念是微积分理论中的重要内容，它贯穿于高等数学的始终，在教学中要力求将这个抽象枯燥的概念深入浅出、生动形象地表达出来，这样易于学生理解定义微分的合理性和必然性，了解微分概念与已经学习过的极限和导数的联系以及与今后学习积分的关系。本文对同济教材中的引例作了修改，通过设计多个问题，有意识地引导学生发现微分定义的合理性以及与无穷小、高阶无穷小、等价无穷小替换和可导性之间的联系，强调微分与导数的区别。高等数学中有些概念环环相扣，微分是为积分做准备的，这种准备体现在“微分是增量的线性主部”。本文设计教学案例，引导初学者对这句话的合理性进行理解。同时引入对无穷多个无穷小量求和，也即积分；阐明微分是“为和而分”，是对无穷多个无穷小量求和也即级数理论。向刚上大学的新生介绍这些内容，目的是引导学生对高等数学思想方法的领悟。

一、微分概念的引入

设计直观的教学引入，易于激发学生发现探索问题的兴趣。同济六版第二章第五节，微分的引入使用图1中的图形，图1的作用是为了使用实例引出“微分是增量的线性主部”。我们将图1修改为图2，图2的作用除了引出微分的定义，还具有一定的拓展性。极限部分的习题、级数和积分的思想都能用图2得到合理的解释，使用图形可视化方法介绍抽象的数学概念以及多个与微分有联系的数学概念。

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引例：如图2，一块均匀等腰直角三角形金属薄片受温度影响，其边长变化如图中所示，此薄片面积改变了多少？

解：等腰直角三角形的面积为设为A（x）=■x2，薄片受温度变化影响时面积的改变量，可以看成是自变量x取x0，增量为Δx时，函数A（x）=■x2，相应的增量为ΔA，即

ΔA（x0）=A（x0+Δx）-A（x0）

=■（x0+Δx）2-■x20=x0Δx+■Δx2 （1）

当Δx→0，■■=0，该式表明，图2面积改变量中，三角形面积除以矩形面积，结果趋于零，即三角形的面积占矩形的面积的百分比非常小，接近于零。从几何角度考虑，当Δx→0时，面积的该变量主要部分是第一部分x0Δx，而第二部分■Δx2是次要部分。

从上式可以看出，ΔA分成两部分：第一部分x0Δx是Δx的线性函数，是面积改变量ΔA的主要部分，即图2中灰色的矩形部分的面积；第二部分■Δx2是图中灰色的三角形部分面积，是面积改变量的次要部分，即图2中的黑色三角形部分的面积。

面积改变量ΔA（x0）=x0Δx+■Δx2=线性主部+线性主部的高阶无穷小（Δx→0），从而面积的改变量ΔA（x0）可以使用第一部分，也即线性主部做近似代替。

教学过程中还可使用一些深入浅出的语言，比如“留住西瓜，丢掉芝麻”，做形象的比喻。这个比喻可以帮助学生加深理解无穷小以及高阶无穷小概念。

问题1：请问，如果使用下列语言对图2对应的引例作一般性推广。如果函数y=f（x）满足一定条件，则增量Δy可表示为Δy=AΔx+o（Δx），其中A是不依赖于Δx的常数，因此，AΔx是Δx的线性函数，且它与Δy之差Δy-AΔx=o（Δx）是比Δx高阶的无穷小。所以，使用Δx的线性函数AΔx来近似代替Δy。

这样做总能成立吗？能否运用你学过的知识解释一下这样定义的合理性？Δy=AΔx+o（Δx），式子当中的A能否有一般的结果？

说明：问题1是锻炼学生将感性认识抽象成一般理论，这个过程需要数学的严格证明，提这个问题的出发点是让学生复习一下以前学习的知识点：（板书）

（1）极限存在的充分必要条件

■f（x）=A？圳f（x）=A+α（x） ■α（x）=0

（2）导数的定义：■■=f′（x0）

由以上两个式子可得■=f′（x0）+α（x），■α（x）=0进一步推导可得Δy=f′（x0）Δx+α（x）Δx

因为■■=■α（x）=0，故α（x）Δx=o（Δx），所以Δy=f′（x0）Δx+o（Δx），这个理论推导步骤是检验学生在学习过程中对极限存在充要条件和导数定义两个知识点的掌握情况。

经过推导，不难理解为什么Δy使用Δx的线性函数AΔx近似代替。而且学生会有这样的感受，这个推导与导数有关系，而且A=f′（x0），从而很合理地得到关于微分的定义。

定义：设函数y=f（x）在某区间内有定义，x0及x0+Δx在这区间内，如果增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）可表示为Δy=AΔx+o（Δx），

其中A是不依赖于Δx的常数，那么称函数y=f（x）在点x0是可微的，而AΔx叫做函数y=f（x）在点相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy=Adx。

通过以上的分析，学生可以完成以下两个问题（留给学生自己解决）：

（1）证明定理：y=f（x）在x=x0点可微？圳y=f（x）在x=x0点可导。

（2）若y=f（x）在x=x0点可微，则dy=Adx=f′（x0）dx.

介绍了定义以后，有些细节问题是学生看书的时候自己没法看明白的，这涉及到数学的发展史。教师可设计一些以旧带新、遵循知识发展的连续性问题，复习旧知识，找出新旧知识之间的桥梁，自然过渡到新知识，再通过新旧知识比较，进而加深学生对新知识的理解。

二、微分概念的强化提升

问题2：（1）微分定义中，使用Δy的线性函数AΔx来近似代替数Δy，这可以看成是等价无穷小替换吗？

（2）微分定义中，Δ和d有区别吗？

（3）微分与导数是两个相同的概念，你觉得对吗？

对定义的几点注记：

（1）Δx→0时，由Δy=AΔx+o（Δx）不难得到■■=■■=1，也即Δx→0时，Δy：AΔx。微分用无穷小理论理解是等价无穷小线性替换。

（2）对于微分符号的说明（数学史的介绍，增加数学的文化性）：Δ-deirta为希腊字母，表示“差”，d为罗马字母，differentias表示“差”的含义，取第一个字母，这是德国数学家创立的符号。Δx和d的思想含义是相同的，都是分割的意思。莱布尼茨从几何学的观点出发，而他创立的符号系统十分先进，既表达了概念，又便于计算。

微分也即无限细分，用数学符号表示，也即：若则ΔU→0，则ΔU=dU；从而Δx→0，Δx=dx；Δy→0，Δy=dy.

（3）需要注意微分与导数的区别与联系：若y=f（x），dy=f′（x）dx，■f′（x），形式上看两者只是乘除的不同，微分是个无穷小量，导数反映的是变化率，这是两者的区别。若使用微分是增量的线性主部的方法求微分，有时计算往往很难，但是，有了导数，使用公式dy=f′（x）dx，则很容易计算微分，微分中涉及的增量与变换率有关，这是两者的联系。

解决了问题1和问题2，只是解决了微分概念的引入、定义、证明、性质等过程的微观教学任务。“极限、微分和积分作为高等数学中三个重要概念，它们产生、发展的历史顺序和逻辑顺序有其一致性。”作为教师，需要仔细研读教材，使学生掌握知识的整体框架结构。这就需要教师从宏观上把握，突出知识脉络，提升学生的认识高度，从而设计一些能够体现宏观教学思路的问题，深入浅出，激发学生的学习兴趣和创造热情。

三、微分与级数和积分的联系

问题3：在《高等数学》上册极限部分习题，有一道极限计算题■■，这道题做练习的时候，教师往往强调先要对分子先求和，然后再计算。对于■■=■■+■■+…+■■=0，有同学很疑惑为什么是错误的。请结合图3予以说明。

解：由图3，将边长为1的等腰直角三角形分割，近似代替，即使用引例中的代替方法，图3中所有小矩形条的面积和，即为■=■，则三角形的面积近似等于■，为了减少误差，可以增加分割细度，不停细分，也即n→+∞，求无穷多个无穷小量的和。图3中边长为1的等腰直角三角形面积为■，而■■=■■=■，这说明小矩形条的面积的和随着分割细度的增大而不断趋向于三角形的面积。通过以上分析，不难理解■■=■■+■■+…+■■=0为什么是错误的，究其原因，极限运算法则只能对有限项和才能使用。

无穷多个无穷小量的和也称作级数，从该例可以向学生介绍一下级数。

对问题3的解释说明：初看起来，问题3是一道极限题，实则不然，该题向大家展示了定积分的一般步骤。求出图4中边长为1的等腰直角三角形面积的四个步骤：分割、近似代替、求和、取极限。取极限的目的是无限细分，也即微分，图4中小梯形为面积的微分，使用图3中的小矩形条近似代替小梯形，此过程循环使用图2中介绍的近似代替过程，也即运用了微分定义中的线性代替方法。如果使用其他方法，学生可以尝试计算图4中所有小梯形面积的和。求和后取极限，大家会发现这样做远比问题3中的方法复杂。通过对比，学生会对微分的“线性代替”思想有更加深刻的认识，这样做是为了容易求和取极限。也即积分，故微分的目的是“为和而分”。

到此，学生在教师的引导下，明白了积分的基本步骤，积分中的关键是近似代替。但是，等学生明白过来以后，会有人觉得这样求等腰直角三角形的面积似有“杀鸡用牛刀”的嫌疑。其实这样做是为了引出微积分的思想过程。为加深学生对该过程的理解，设计以下练习：

求出图5中y=x2，y=0，x=1所围成的区域的面积。

通过问题3，把问题的本质揭露出来，引导学生在解决问题的过程中阐明隐藏在形式背后的原理、脉络、思想和方法，尽可能地呈现或部分呈现、还原数学研究的过程。相信在这个过程中，学生对“极限、微分和积分作为高等数学中三个重要概念，它们产生、发展的历史顺序和逻辑顺序有其一致性”这句话会有更加深刻的认识。

介绍完这个问题，有学生仍然会对微分过程中在做近似代替时，保留线性主部、舍弃线性主部的高阶无穷小不可理解，为此，可设计如下问题，解释舍弃线性主部高阶无穷小的合理性。

问题4：你如何理解微分过程中做近似代替时，保留线性主部、舍弃线性主部的高阶无穷小的合理性。能否结合图3给出实例性的说明。

说明：对图3加以改造。如图6，通过前面的分析，若将近似代替过程中的误差项全部平移至右侧高度为1，宽度为■的矩形区域内，在做近似代替过程中，所有的误差之和不会超过■，无限细分，也即n→∞时，误差■→0。此过程说明，“在微分近似代替过程中舍弃的高阶无穷小，在求和时，无穷多个高阶无穷小的和是仍然是无穷小”，也即误差会随着分割程度的不断细化而趋向于零，从而微分在做近似代替过程中舍弃高阶无穷小项有其合理性，这样学生才能真正消除疑惑。这恰恰是微分的精髓所在。

四、微分的一些应用

高等数学教学，尤其是针对工科的教学，要培养学生的建模能力，使学生能够使用一些数学方法解决专业课程相关的问题，由问题驱动激发学生的学习兴趣和学习热情。这是教学时选择教学内容需要注意的一个方面。

在现有的教材中，关于无穷小的应用，通常有几何方面的应用，以直线段近似代替曲线段，比如计算曲线的弧长；函数的自变量产生微小扰动的近似计算；还可针对不同的专业，选择物理、化学、生物的例子。这些可参考国外的一些教材，比如《托马斯微积分》。

数学学习中，中国古代数学中的“刘徽割圆”是微积分教学中的一个常用案例。可将此案例修改，将微分的思想渗透其中，以此说明微分是如何将极限和积分有机结合在一起的。

问题5：试用微分的思想设计一实验，证明半径为R的元的面积为πR2。

图7提出了问题，图8解决了该问题。该问题让学生理解了微分的作用是无限细分近线性代替，目的是为了方便求和，做近似代替，去极限的目的是为了减少误差，使误差趋于零。使得近似值无限逼近有限值，这是微积分的思想精髓。

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五、教学小结

本课通过一系列的“问题链”，引导学生自主学习，合作研究。学生在解决问题的过程中得到进步，实现师生互动，达到提高学生综合素质的目的。此方法能够使学生理解微分的概念，论证函数微分和导数的关系，明白“微分概念”在微积分学中的重要地位。微分的作用是使用线性替代易于求和，使用极限手段是为了减小误差直至误差缩小为零。这是微积分思想的真正内涵。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]Finney，Weir，Giordano.托马斯微积分（第十版）[M].北京：高等教育出版社，2003.