立体几何·夹角与距离

一、选择题（每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题意）

1. 异面直线[a]，[b]分别在平面[α]，[β]内，且[α?β=c]，则直线[c]（ ）

A. 同时与[α]，[β]相交

B. 至少与[a]，[b]之一相交

C. 最多与[a]，[b]之一相交

D. 与[a]，[b]之一相交且与另一平面平行

2. 设[a]，[b]，[c]为两两垂直的异面直线，[d]是[b]，[c]的公垂线，则[d]与[a]的位置关系为（ ）

A. 相交 B. 平行

C. 异面 D. 不确定

3. 平面外一条直线与平面成[θ]角，则（ ）

A. [0°<θ<180°] B. [0°<θ<90°]

C. [0°<θ≤90°] D. [0°≤θ≤90°]

4. [α-l-β]是直二面角，直线[a]与平面[α]成[30°]角，设直线[a]与平面[β]所成角为[θ]，则有（ ）

A. [θ=60°] B. [θ<60°]

C. [0°≤θ≤90°] D. [0°≤θ≤60°]

5. 设正三棱锥两侧面所成二面角为[θ]，则（ ）

A. [θ=60°] B. [θ<60°]

C. [θ>60°] D. 以上都有可能

6. 将正方形[ABCD]沿其对角线[AC]折成直二面角后，[AB]与[CD]所成的角为（ ）

A. [45°] B. [90°]

C. [60°] D. [75°]

7. 直二面角[α-l-β]的棱上有一点[P]，过[P]在[α]，[β]内分别作与棱 [l] 成[45°]角的射线[PA，PB]，则[∠APB=]（ ）

A. [60°] B. [120°]

C. [60°]或[120°] D. [90°]

8. 已知三棱锥底面是边长为1的正三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为（ ）

A. [32] B. [12] C. [33] D. [36]

9. 在正方形[ABCD]中，[AB=4]，沿对角线[AC]将正方形[ABCD]折成一个直二面角[B-AC-D]，则点[B]到直线[CD]的距离为 （ ）

A. [22] B. [32]

C. [23] D. [2+22]

10.在[△ABC]中，已知[AB=27，BC=37]，[AC=7，][D]是边[AC]上的一点，将[△ABC]沿[BD]折叠，得到三棱锥[A-BCD]，若该三棱锥的顶点[A]在底面[BCD]的射影[M]在线段[BC]上，设[BM=x]，则[x]的取值范围是（ ）

A. [（0，27）] B. [（0，7）]

C. [（7，27）] D. [（27，37）]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是 .

12. 空间四边形[ABCD]中，[AC=8]，[BD=12]，[E，F，G，H]分别是[AB，BC，CD，DA]边上的点，且[EFGH]为平行四边形，则四边形[EFGH]的周长的取值范围是 .

13. 如图，在正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，[M，N]分别是棱[CD，CC1]的中点，则异面直线[A1M]与[DN]所成的角的大小是 .

14. 在棱长为1的正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，若点[P]是棱上一点，则满足[|PA|+|PC1|=2]的点[P]的个数为 .

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）如图所示，在四棱锥[P-ABCD]中，底面[ABCD]是矩形，[PA]⊥底面[ABCD]. [E]是[PC]的中点，已知[AB=2]，[AD=22]，[PA=2]，求：

（1）[△PCD]的面积；

（2）异面直线[BC]与[AE]所成的角的大小.

16. （10分）如图，在四棱锥[P-ABCD]中，底面[ABCD]是矩形，[AD⊥PD]，[BC=1]，[PC=23]，[PD=CD=2].

（1）求异面直线[PA]与[BC]所成角的正切值；

（2）证明平面[PDC]⊥平面[ABCD]；

（3）求直线[PB]与平面[ABCD]所成角的正弦值.

17. （12分）如图所示，在四棱锥[P-ABCD]中，底面[ABCD]为矩形，[PA]⊥平面[ABCD]，点[E]在线段[PC]上，[PC]⊥平面[BDE].

（1）证明：[BD]⊥平面[PAC]；

（2）若[PA=1]，[AD=2]，求二面角[B-PC-A]的正切值.

18. （12分）如图，四边形[PCBM]是直角梯形，[∠PCB=90°]，[PM]∥[BC]，[PM=1，BC=2]，[AC=1]，[∠ACB=120°，AB⊥PC]，直线[AM]与直线[PC]所成的角为[60°].

（1）求证：[PC⊥AC]；

（2）求二面角[M-AC-B]的余弦值；

（3）求点[B]到平面[MAC]的距离.