离心率取值范围求解策略

孔德杰

范围问题是数学中的一大類问题，在高考试题中占有很大的比重.圆锥曲线离心率取值范围问题虽然在最近几年高考中有些弱化，但一旦在高考中出现，将是一道难题，所以我们有必要寻求离心率取值范围的求解策略.求离心率取值范围的关键是根据圆锥曲线本身a，b，c的等量关系和题目给出的条件，建立a，c的不等关系，从而求出离心率的取值范围.

一、根据题目中直接给出的不等条件求离心率范围

例1（2007年北京（文））椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦点为F1，F2，两条准线与x轴的交点分别为M，N，若MN≤2F1F2，则该椭圆离心率的取值范围是（）.

A. 0，12B. 0，22C. 12，1D. 22，1

分析本题中直接给出了一个不等关系，只需将其“翻译”成a，c关系即可.

解 |MN|≤2|F1F2|，所以2·a2c≤2·2c，即a2≤2c2.所以 22≤e<1.故选D.

温馨提示对于题目中直接给出不等条件，我们就可以直接建立a，c的不等关系.

二、根据圆锥曲线本身的性质求离心率的取值范围

1.根据圆锥曲线焦半径的有界性

例2（2009年重庆（理））已知双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）.若双曲线上存在点P使sin∠PF1F2sin∠PF2F1=ac，则该双曲线的离心率的取值范围是.

法一

分析把焦半径用a，c表示，再根据椭圆焦半径的有界性列出不等关系解题.

解因为sin∠PF1F2sin∠PF2F1=ac，由正弦定理得|PF2||PF1|=ac，所以|PF1|>|PF2|，点P在右支上，所以|PF1|-|PF2|=2a，所以|PF2|=2a2c-a>c-a，解得 e∈（1，2+1）.

温馨提示①所谓双曲线焦半径的有界性，即双曲线其中一支上的点到对应焦点的距离大于等于c-a，到另一个焦点的距离大于等于c+a.

②本题中根据题意点P，F1，F2应构成三角形，所以|PF2|≠c-a.

③本题还可以根据焦半径|PF1|的有界性求解.

④所谓椭圆焦半径的有界性，即椭圆上的点到焦点的距离d满足a-c≤d≤a+c.

注：本题还有其他解法，详见后面根据圆锥曲线上点的坐标的有界性和根据三角形三边关系.

2.根据圆锥曲线上点的坐标的有界性

例2法二

分析求出点P的横坐标x0，再根据双曲线上点的坐标的有界性列出不等关系解题.

解由法一知|PF2||PF1|=ac，点P在右支上，所以ex0-aex0+a=ac，所以x0=a（c+a）e（c-a）

=a（e+1）e（e-1）>a，解得 e∈（1，2+1）.

温馨提示①所谓双曲线上点的坐标的有界性，即焦点在x轴上的双曲线的右支上的点的横坐标x0满足x0≥a，左支上的点的横坐标x0满足x0≤-a；焦点在y轴上的双曲线的上支上的点的纵坐标y0满足y0≥a，下支上的点的纵坐标y0满足y0≤-a.所以用此法时要注意焦点的位置.

②所谓椭圆上点的坐标的有界性，即焦点在x轴上的椭圆的点的横坐标x0满足x0≤a，纵坐标y0满足y0≤b，焦点在y轴上点的坐标的有界性正好相反.所以用此法时要注意焦点的位置.

3.根据三角形三边关系

例2法三

分析求出|PF2|，|PF1|，再根据三角形两边之和大于第三边列出不等关系解题.

解根据法一中知点P在右支上且|PF2|=2a2c-a，|PF1|=2acc-a，|PF2|+|PF1|>2c |PF2|+2c>|PF1|，|PF1|+2c>|PF2|，解得 e∈（1，2+1）.

温馨提示本题只需解|PF2|+|PF1|>2c，其他两个不等式恒成立.

三、根据数形结合求离心率的取值范围

总结在求解圆锥曲线离心率取值范围时，要认真分析题设条件，关键是合理建立不等关系：如果题目中直接给出了不等条件，我们可以直接建立不等关系求解；如果题目是跟焦半径有关的问题，我们可以考虑用焦半径的有界性，或者根据焦半径公式求出点的横坐标或纵坐标，用点的坐标的有界性建立不等关系求解；如果题目是跟三角形有关的问题，可以考虑用三角形三边的关系建立不等关系求解.我们还可以根据题目条件选择其他方法建立不等关系.总之，在做题时要不断总结，择优解题.