探究离心率的求解策略

侯德运

求圆锥曲线的离心率问题是解析几何中的一类重要题型，涉及圆锥曲线的定义、标准方程、三角函数、不等式等内容，能够很好地考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等，它往往通过回归定义，结合几何图形，建立目标函数以及观形、设参、转化等途径来解决.现将平时教学过程中通过总结归纳，得到求解圆锥曲线离心率的几类方法，以供参考：

一、利用曲线方程的定义

二、利用圆锥曲线的几何性质

例2（2011年高考新课标全国理科卷） 已知直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，C的离心率为（）.

A.2B.3C.2 D.3

解析设双曲线方程为x2a2-y2b2=1，直线l的方程为x=c，由题意可知，|AB|即为双曲线的通径，所以AB=2b2a，又AB=2b2a=4a，所以b2=2a2，根据定义c2=a2+b2=3a2，∴e=ca=3aa=3.故选B.

点评圆锥曲線几何性质如通径、焦点三角形形状等给出了参数a，b，c的几何意义，从而更好地从形的角度分析a，b，c的关系，进而求得离心率.

点评本题的解决途径是借助图形的几何性质即两直线平行斜率相等，从而得出有关椭圆参数a，b，c的关系式进而求解离心率问题.利用图形转化为参数间关系是解析几何中常用的思路之一，体现了数形结合的思想意识.