探求函数与图形形状结合问题的一般方法

吴文军

坐标系背景下的函数与图形形状结合问题往往是学生最头疼的问题，也是教师教学中最困惑的问题.许多教师缺少对此类问题一般方法的分析、概括和提炼.很多时候单靠大量的练习来训练学生的解题能力，就好比“摸着石头过河”，缺乏思想方法的指导.学生怕，老师累.数学教学最重要的是在数学思想方法上给学生以点拨、指导和训练.本文以中考专题复习课“函数与图形形状结合问题的解决”的几个片段为例，拟探究这类问题的一般方法，供读者商榷.

片段一：模式的概括

例如图1，抛物线y=-x2向上移动，与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点，若△ABC为等腰直角三角形，求移动后的抛物线的解析式.变式1：△ABC为等边三角形，求移动后的抛物线的解析式.

设计意图：利用简单而常见的函数、图形为题材，让学生感觉熟悉又有亲切感，但综合在一起，难度骤然加大.通过变式，让学生觉得图形的形状、位置虽然变了，但题目的模式并未发生变化，体会到找到解决此类问题的一般方法才是问题解决的关键，进而体会到解题方法的重要性.

上课开始时老师展示例题，并让学生先尝试性地做几分钟.46名同学中仅有7名同学做对，其中有5名学生是用特殊值凑出来的.然后老师变式：（如变式1）将△ABC变为等边三角形.师：题目简简单单，但又觉得难，原因在于方法的缺失.师：先把题中的条件按数学形式分分类.经学生七嘴八舌，老师点拨、概括，题中条件可分为函数类条件（y=-x2等）和图形形状类条件（等腰直角三角形、等边三角形）.师：对此类问题能否用一个简单的模式进行概括？经老师引导，学生热烈的讨论，大家形成一个共识，用下列模式：函数—图形形状.

片段二：“题眼”的提炼

师：刚才我们只是对题型进行了分析与讨论，解题的方法和思路还不清楚.生：老师，我觉得刚才这个模式中，在函数和图形之间肯定有一种联系的要点或方法.师：有道理，在函数和图形间需要一条纽带，学生表示认可.师：那么联结这条纽带的最主要因素是什么？学生讨论激烈.生：这条纽带应该是点的坐标.因为题中△ABC的三个顶点既是三角形的顶点，又是函数图像上的点.老师加以肯定，并分析点的坐标就如这个模式的眼睛，这条通道的窗口.然后对模式又做了一次修改补充.

片段三：点的表示法的探求

师：如何打开这个突破口呢？生：把点的坐标求出来.师：能否直接求出点的坐标？生：不能！师：怎么办？学生又一次激烈的讨论.生：用未知数把点的坐标表示出来.师：对.今天我们解这类问题的最关键之处就是怎样表示这些点的坐标.师：如果单考虑函数条件，如图1，抛开△ABC为等腰直角三角形这一条件，A，B，C的坐标可以怎样表示？生：可设A的坐标为（0，m），抛物线的解析式y=-x2+m，B，C又是抛物线与x轴的交点，通过代入A的坐标（0，m）得0=-x2+m， x=±m，所以B，C的坐标分别可表示为（-m，0），（m，0）.师：接下来你能求出m的值吗？生：可以求的，因为△ABC为等腰直角三角形，且AO⊥BC，所以OA=OB=OC，可得m=±m，解出来m1=1或0，0舍去，所以m=1.师：做得很好，完全正确.反之是否可行呢？即：单考虑几何条件，抛开A，B，C都是y=-x2上的点这一条件，A，B，C的点又怎么表示？生：设A的坐标为（0，m），因为△ABC是等腰直角三角形，且AO⊥BC，所以OA=OB=OC，所以B的坐标为（-m，0），C的坐标为（m，0）.师：怎么求？生：因为移动后的抛物线的解析式为y=-x2+m，把B（-m，0）代入解析式得0=-m2+m，解之得m1=1，m2=0（舍去）.师：刚才大家能顺利解题是因为找到了解题的突破口，抓住了“怎样表示点的坐标”这一关键.接下来我们把刚才两种解法进行对比，对点的表示方法作进一步的概括，对解题模式再作提炼.经过师生互动和深入讨论，对点的表示法概括出两点：（1）数设形代法.数设：通过函数、坐标系等代数条件，表示出点的坐标.如：A，B，C分别为抛物线的顶点、与两轴的交点，由此A，B，C三点的坐标分别可表示为A（0，m），B（-m，0），C（m，0）.形代：然后把点的坐标代入反映形的关系式中.如：OA=OB=OC，得m=±m.（2）形设数代法.形设：通过形的关系式表示出点的坐标.如可由关系式OA=OB=OC反映△ABC是等腰直角三角形的形状，进而设出A（0，m），B（-m，0），C（m，0）.数代：再把A，B，C三点坐标代入反映数的关系式.如抛物线的解析式y=-x2+m，得0=-（±m）2+m.最后又把解题模式进行了完善.

课中又安排了一些适应性的练习.如例1的变式1、变式2、练习题等.变式1：解法一（数设形代法）：设A的坐标为A（0，m），则抛物线的解析式为y=-x2+m，B，C的坐标分别为B（-m，0），C（m，0），又因为△ABC为等边三角形，且AO⊥BC，所以AO=3BO=3CO，得m=±3m，

实践表明，用这种方法来指导学生解函数与图形形状结合问题，学生的思路就会清晰许多.就好比找到“题眼”，总觉得有點可抓，有口可破，有路可走，学生的畏难情绪就会大大减少.老师在指导学生解题时，就好比抓到“衣领”，有提领而顿、百毛皆顺之感.在数学教学工作中，老师若对各类题型能在数学思想与方法上不断地创新、提炼，并给予学生有效的指导，学生的学习效率将会大幅度调高，达到“做一题，通一类，会一片”的效果，能体验到“会当凌绝顶，一览众山小”的解题意境，数学的魅力也将会得到更充分的彰显.