数学“基本活动经验”的教学探究

王惠

2011年12月《全日制义务教育数学课程标准》正式颁布，与2001版《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》相比，“基本思想、基本活动经验”作为新增内容纳入数学课程目标之中，使 “双基”课标扩展成为“四基”课标.新版课程标准还特别强调：“数学活动经验的积累是提高数学素养的重要标准.帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果.”充足的数学活动经验是学生学好数学、提高数学素养的重要基础，数学的基本知识和基本技能，只有通过一定的“数学活动经验”才能内化成为学生的数学素养.因此，积累数学活动经验，使之成为学生数学认识的现实基础，是目前数学教学的重要课题.

一、“数学基本活动经验”及其意义

作为数学教师，要使课堂教学体现课程标准要求，让学生在课堂教学的过程中不断积累“活动经验”，就要对“数学基本活动经验”有一个清晰的认识和全面的理解.本人查阅了许多关于“数学基本活动经验” 的相关论述，摘录了部分经典论述如下：

“数学活动经验是指学习者在参与数学活动的过程中所形成的感性的知识、情绪体验和应用意识.”

“数学基本活动经验是建立在人们的感觉基础上的，又是在活动过程中具体体现的，与形式化的数学知识相比，它没有明确的逻辑起点，也没有明显的逻辑结构，是动态的、隐性的和个人化的.”

“数学活动经验，专指对具体、形象的事物进行具体操作所获得的经验，以区别于广义的数学思维所获得的经验.”

“数学基本活动经验有两个层面.从静态上看，它是一种从属于学生自己的‘主观性知识，学生经过数学学习后对整个数学活动过程产生的认识，包括体验、感悟、经验等，虽然这只是学习个体主观上粗浅的、感性的认识，或者是不那么严格的隐性认识，但这种经验是有意义有价值的.从动态上看，它是过程，是经历.积累数学基本活动经验更关注过程的教学，‘经历过程不仅仅是让学生经历知识产生的过程、知识的呈现方式，更是探究的过程、思考的过程、抽象的过程、预测的过程、推理的过程、反思的过程等等，从而积累观察、操作、猜想、归纳推广等活动经验.”

虽然这些论述各有不同，但目标指向是一致的，我们还看到在数学学习中要使学生真正理解数学知识，感悟数学的理性精神，形成创新能力，就需要学生积累丰富而有效的数学活动经验.因此在数学教学中，进行有效的数学活动的目的，就是让学生逐步达到对数学知识的意会、感悟，积累解决问题和分析问题的基本经验，将这些经验迁移到后续的数学学习中去.

二、设计适合学生实际的数学活动，获取有效的“基本活动经验”

在教学中设计适合学生的有效的数学活动，使学生从已有的经验和丰富的直观案例开始，在经历思考的过程中，积累有效的活动经验，感受到数学基本活动经验的本質，从而理解数学知识，感悟数学的理性精神.

1.在阅读思考中丰富学生的理性知识

数学课本是学生学习数学知识的文本工具，让学生养成认真读书、用心思考、仔细体会的习惯，是学生独立获取知识的主要途径，也是学生直观感悟数学知识的重要手段.

课堂教学中引导学生阅读教材，一定要根据授课内容有选择性地进行.例如，对于数学教材中的公式、法则、性质、概念等，要求学生沿着教材所揭示的知识发生、发展顺序追根溯源，循着知识脉络阅读.又如，针对教材中的重点内容精读时，要依着数学知识的结构和推理的依据，在逐字逐句阅读的基础上注重要点、把握精髓，使学生在复杂的事实中，发现事物的细微变化及本质特征，在充分感知的基础上，思考和发现问题，进而上升为理性认识.

2.在合作探究中提高学生的情绪体验

数学活动是经验产生的源泉，离开了数学活动，就不会形成有意义的数学活动经验.在课堂教学中，让学生经历自主探究、合作交流的过程，也是学生体验“活动”的过程，面对新的情境和问题，学生需要调动自己已有的经验去同化这个新的情境和问题，并在学习的过程中与原有的知识进行融合，这个过程本身又是一个积极主动的经验建构过程.

通过对已有知识的概括和对已有经验的拓展，不断用原有知识解决新的问题，使学生积累如何去发现问题、如何去研究问题的经验，是提高学生学习能力的重要途径.

3.在演绎证明中升华学生的推理能力

推理能力的提高和升华不同于知识和技能的掌握，需要一个长期缓慢的过程，在学习中，学生观察、实验、猜想、证明的过程等都是经验的形成的过程，教师在教学中，把学生的这种推理能力融合在教与学的过程之中，将已有的推理经验作为推理教学的再生资源，通过演绎证明为学生积累经验，为拓展学生的思维提供了条件.

例如：“三角形内角和定理”的学习是在小学已经得出的“三角形内角和为180度”的基础上进行的，因此教学重点应放在定理的证明上，其中难点是辅助线的导出.在教学中通常是让学生准备一个纸质三角形，将其中两个角剪下与第三个角拼在一起，发现“三角形内角和为180度”，从而使学生得出作平行线这一方法达到证明的目的（如图3）.

在这个问题的教学中，如果以刚学过的“两平行线被第三条直线所截同旁内角互补”作铺垫，将其中一条直线绕交点旋转，在动态演示过程中，将“两直线平行、同旁内角互补”转化为“三角形内角和为180度”的方法，不仅揭示了定理的形成过程，而且使学生明白三角形内角和与平行线性质间的关系，自然地添加辅助线使定理得到证明，这样设计更能深化学生的活动经验，提高学生的推理能力（如图4）.

4.在抽象概括中培养学生的归纳能力

在课堂教学中，要归纳总结的知识有很多，作为教师除了对书本知识的归纳总结外，更要善于对分析问题的方法进行归纳与总结.将常用解题方法、易错易混知识点，尤其是数学知识的前后联系归纳好，学习能力就会得到显著提高.

例如：（握手问题）若每两个人握手1次，则3个人共握手几次？4个人共握手几次？……n个人共握手几次？

图5对于初中学生来说，要发现规律并不容易，教学时可借助图形的直观简明地分析问题.如果把“人”抽象成“点”，“两个人握手1次”抽象成“两点之间连接一条线段”（如图5），对于n个点中的任何一个点，它与其他的（n-1）个点可以连接（n-1）条线段，因而n个点可共连接n（n-1）条线段.因为两点之间有且只有一条线段，所以可共连接n（n-1）2条线段.

有了这样的认识后，运用归纳的方法列表探索如下规律：

握手问题变式：一列火车往返于两个城市之间，每次运行停靠n站（包括起点站和终点站），铁路部门应发售多少种不同的车票？显然，这个问题与握手问题有差异，如果把车票看成“线段”，这里的线段是有向的，结论就为n（n-1）.

在问题解决的过程中，将获得的经验进行反思提炼，使学生通过抽象概括的活动过程，为以后类似问题的解决提供了范例.

5.在课题研究中强化学生实践能力

与《标准（实验稿）》相比，《标准（2011版）》在“综合与实践”课程的设置上突出了“经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程”的研究课题.例如：八年级教材安排的研究课题“一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的实际应用”，就是通过从现实生活或具体情景中抽象出数学问题，并用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律的“一次模型”的案例，对这个小课题的研究結果，不仅有助于学生初步形成模型思想，提高学习的兴趣和应用能力，还为九年级学习“一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的实际应用”提供了问题研究的方法，使“基本活动经验”转化融入到新的学习之中.

在教学中教师结合教学实际指导学生开展小课题活动，体现了“综合与实践”有助于学生理解数学知识与方法，有助于正确认识数学，有助于促进学生的一般发展具有较高的课程教育价值.

三、获取“数学基本活动经验”的教学中应注意的问题

1.数学课堂教学设计要有明确的教学活动目标.进行数学活动的目的是让学生通过探究、预测、推理、概括、总结、反思等过程，积累数学活动经验，逐步达

到对数学知识的理解和掌握，因此每节课都应有明确的目标，以形成一个严密的推进过程.

2.课堂教学设计要重视活动近期效果和远期学生收获.不能只重形式，走过场，为了活动而活动，使活动失去意义.

3.课堂教学设计要与学生的生活实际相结合.通过对数学的感性认识、数学材料的具体操作和形象探究活动等亲身体验，使学生在各种活动中积累知识和技能.

数学教学需要让学生亲身经历学习过程，从而获得最具数学本质的、最具价值的数学活动经验.在教学中既不要希望学生的数学基本活动经验通过一二次活动就练成，要时刻关注学生数学基本活动经验的积累，又要对学生数学活动经验积累有坚定的信心，因为只有积累到一定的量，才会有质的飞跃.要让学生在亲历中体验，在体验中累积，要让学生获得成功的体验，树立学好数学的自信心.