给自己慧眼，抓住题的“眼”

吴耀军

摘要：在数学解题教学中，教师常用“题眼”这个术语，考其源头却不见哪一本专业词典有规范的解释。但笔者认为所谓“题眼”就是题目的要害，是命题者设置的主要障碍点。它常常以知识点、隐含条件、联结词、临界点等形式出现。一些数学题之所以难，不仅因为数学知识的应用复杂多变，还由于潜在条件隐蔽难寻，使人产生条件不足之感而陷入困境，这正是考查考生思维的深刻程度。如何迅速寻找突破口，找出数学考题中的“题眼”，高效简洁地完成解题，集中体现了学生的综合分析能力。本文举例说明识“题眼”的几种常见方法。

关键词：数学教学；识“题眼”；常见方法

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）09-0111

经常有一些学生问笔者：“为什么在答题过程中常出现误解、卡壳、毫无思路等情况？”其实，造成这种现象的原因有很多，但其中一个最重要的原因往往是因不善于识“题眼”而造成的。识“题眼”是审题和做答的关键。

在数学解题教学中，教师常用“题眼”这个术语，考其源头却不见哪一本专业词典有规范的解释。但笔者认为所谓“题眼”就是题目的要害，是命题者设置的主要障碍点。它常常以知识点、隐含条件、联结词、临界点等形式出现。一些数学题之所以难，不仅因为数学知识的应用复杂多变，还由于潜在条件隐蔽难寻，使人产生条件不足之感而陷入困境，这正是考查考生思维的深刻程度。如何迅速寻找突破口，找出数学考题中的“题眼”，高效简洁地完成解题，集中体现了学生的综合分析能力。下面，笔者举例说明一下识“题眼”的几种常见方法。

一、从已知条件中直接寻找“题眼”

题设的条件中必然体现一些数学关系，利用数学的定义、性质、结论、公理、定理等深刻领会数学关系的内在联系是寻找“题眼”的关键。比如用哪个章节的知识解题，在运用这些知识点时需注意什么问题等。

例1. （2012年高考（湖南理））在△ABC中，AB=2，AC=3，■·■=1，则BC=（ ）

A. ■ B. ■ C. 2■ D. ■

【解析】

由■·■=■■cos（π-B）=2×■×（-cosB）=1.

∴cosB=■ 又由余弦定理知cosB=■，解得BC=■.

本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识，考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法。但需要注意■，■的夹角为∠B的补角。

本题需要寻找的“题眼”有：

（1）“■·■=1”中对向量夹角定义的理解；

（2）已知三角形的两边及一角，如何利用正、余弦定理解三角形。

二、挖掘题中的隐含条件寻找“题眼”

数学题中的隐含条件是数学问题背后的东西，它使数学知识的应用更灵活、更深刻，能够顺利挖掘题中的隐含条件，把握“题眼”，找到解题的突破口，是一个学生数学素养的重要体现。

隐含条件特点是“含而不露”，它事实上已包含于题中的文字叙述、等式关系、不等关系、图形符号等形式当中，但又没有明确的在题干中呈现，具有很强的隐蔽性，极易被解题者忽视。一直以来这种类型的题都是高错误率，但在高中数学各种考试中却屡见不鲜。

使“隐含”变“明朗”， 实现解题突破，就是这类题型解题的题眼所在。

例2.若A、B均为锐角，且tanA=■，sinB=■，求A+2B的值。

【解析】∵sinB=■且B为锐角，∴cosB=■，

∴ tanB=■

∴ tan2B=■=■

∴tan（A+2B）=■=1

∵A、B均为锐角

∴A+2B∈（0，■）

又∵sinB=■<■=sin30°，

∴0°

∴0°

三角函数的求值与化解问题是高中数学题中隐含条件出现密度最高的章节。解题时，角的范围往往被忽略，或者不能发现其中所隐含的角的大小关系而出现增根不能排除，造成出错。

本题需要寻找的“题眼”有：（1）求角应先求相应的三角函数值，合理选择三角函数名称，能使问题更顺利解决；（2）三角函数的求值与化解问题中，通过“缩角”而排除增根是一种重要技巧。当题目有一个以上结果时，应警惕产生增根的可能，通过进一步推敲题目条件使隐含条件明朗化，实现突破。

三、“转化”找“题眼”

许多学生对数学总是处于一种“无力感”的心理状态，特别是遇到较难题时，思路卡壳，无从下手。要缓解这种状况，一是要牢固掌握数学基础知识、基本技能及其蕴含的数学思想方法，尤其要注意每个数学概念、数学方法等成立的前提条件；二是要善于积累、运用和拓展解题模式，通过类比、对比，把其转化为与平时训练相似的题型，找到“题眼”，促进解题正迁移。

例3. （温州市2012届高三第一学期期末八校联考）已知C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，满足■-■=2，■- ■=2■，■=■，I为PC（下转第128页）（上接第111页）上一点，且■=■+λ（■+■）（λ>0），则■的值为 。

解析：由■=■

知■=■，

从而转化为cos∠CPA=cos∠CPB，得到PC为∠BPA的平分线。

由■=■+λ（■+■）（λ>0）

知■=λ（■+■）（λ>0）

而■+■表示■方向上的单位向量与■方向上的单位向量的单位向量的和向量转化为AI是角∠BAP的平分线，从而得出I为△ABC的内心

由圆的切线长性质可知■-■=AD-BE=AC-CB=2

■- ■=2■转化为■=2■，即AC+CB=2■

∴AC=■+1，BC=■-1

而■的几何意义为■在■方向上的投影，即为BC=■-1。

由于向量集数、形于一体，也就是它既有代数的运算性质，又有几何的图形特征，因而向量是高中数学解题中的重要工具。以向量为背景，一些传统的中学数学内容和问题就有了新的内涵和表现形式。本题中由于题目条件多而杂，学生很难理清其中的关系，从而找不到突破口，出现无思路或思路卡壳的情况。

任何难题的解决都是有迹可寻的，本题中的关键问题即“题眼”所在就是将条件进行合理转化，使复杂问题转化为我们能够理解的、较为熟悉的问题，本题也就得到了解决。

本题需要寻找的“题眼”有：

（1）■=■转化为cos∠CPA=cos∠CPB，得到PC为∠BPA的平分线；

（2）■=■+λ（■+■）转化为AI是∠BAP的角平分线，看出I为三角形的内心；

（3）■转化为几何意义：■在■方向上的投影，从而利用内心的性质使难题突破。

由于数学题中“题眼”的形式多种多样，且在一道题中也会存在多个“题眼”或多种表现形式。但如果能仔细审题、广泛联系、善于转化，多方向、多角度去寻找“题眼”，理清思路脉络，便会达到“豁然开朗”的理想境界。

（作者单位：浙江省龙游县第二高级中学 324400）