揭秘：解三角形问题高考考点

唐洵

编者注：从近三年的高考试题来看，解三角形问题是高考的热点，也是得分点，主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题，常与三角恒等变换以及向量等知识点结合起来命题，重点考查考生的计算能力以及应用数学知识分析和解决问题的能力。

考点一：利用正弦定理、余弦定理解三角形

定理名称正弦定理余弦定理

表達式

适用题型已知两边和其中一边的对角；已知两角和一边

已知三边；

已知两边和一角

注：表中的R是△ABC的外接圆的半径。已知两边和其中一边的对角问题，既可以使用正弦定理进行求解，也可以使用余弦定理进行求解，一般情况下优先选择利用正弦定理求解。

点评：已知三角形的两边和其中一边的对角，可以利用正弦定理求其他的角或边，但要注意利用“大边对大角”的原理对角的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解或无解三种情况；也可以根据给出的角，使用余弦定理，列出关于剩下的一条边的一元二次方程进行求解，此时要注意三角形边长的取值的限制。

例2已知△ABC的三边的长度成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为。

解析：设最短边的长度为m。根据等比数列的定义，可知其余两边的长度分别为2m、2m。

磁场是客观存在的物质。磁场虽然看不见、摸不着，但我们可以根据磁场的基本性质来判断它的存在。

考点二：三角形形状的判定

1.判断三角形的形状，必须以三角形的“边角关系”为核心进行思考。

2.若题设中含有边角混合的条件，则可以使用正弦定理或余弦定理实现边角互化。

3.一般情况下，这类问题主要判断三角形是否为正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形等。

点评：判断三角形的形状，有两条途径：

（1）消角看边，即利用正弦定理或余弦定理，将题设条件转化为三角形的边与边之间的关系式，然后化简此关系式，进而判断三角形的形状，此类方法注重边之间关系的化简，要求有一定的化简能力以及运算能力；

（2）消边看角，即利用正弦定理或余弦定理，将题设条件转化为关于内角的三角函数式，通过三角恒等变换，得到三角形的内角满足的关系式，进而判断三角形的形状，此时要注意应用A+B+C=π这个结论，此类方法注重角之间关系的变化，要求有一定的转化与化归能力。

在磁场中放入磁体，只是研究磁场的一种手段，不会因为不放磁体，就使原有的磁场不存在，而只是它的基本性质没有表现出来。

考点四：正弦定理和余弦定理的应用

以生活为背景考查解三角形的实际应用能力是高考一个重要的出题方向，此类问题一般有三类题型，分别是距离问题、高度问题、角度问题。在处理此类问题时，应当找准几何图形，注入基本量，把测量目标纳入一个可解的三角形中，进而将实际问题转化为解三角形问题进行处理。

图1

（责任编辑袁伟刚）