二阶非线性椭圆型微分方程新的振动准则

林全文，庄容坤

(1. 广东石油化工学院数学系，广东 茂名 525000；2. 惠州学院数学系, 广东 惠州 516007)

考虑如下二阶非线性椭圆型微分方程

▽·(A(x)▽y)+q(x)f(y)=e(x),x∈Ω

(1)

(C3)f∈C1(R,R)，且对所有y≠0,yf(y)>0,f′(y)≥K>0,K为常数。

偏微分方程的振动理论一直受到众多学者的关注。对于如下拟线性椭圆型微分方程

▽·(A(x)▽y)+q(x)f(y)=0

(2)

Noussair 和Swanson[2]利用如下偏Riccati变换

(A▽y)(x)

(3)

将Wintner型定理推广到方程(2)，其中α∈C2为正函数。Swanson 在文献[3]中总结了方程(2)在1979年以前的振动结果。有关方程(2)的最新的一些研究结果请读者参阅文献[4-7]及其所列的参考文献。最近作者在文献[8]中利用偏Riccati 变换技巧及H(r,s)型函数，获得方程(2)的若干振动准则，其中的一个结果可以表述如下：

定理A 假设f(y)/y≥K|y|y-1,y≠0,K>0,v>1。令

其中Sr={x∈RN:x=r},r> 0, dσ表示RN中球面积分元，ωN表示RN中单位球面表面积。若limr→∞Λ(r)=∞, 且对每个T≥a0，下面的条件成立：

(A1) 存在T≤a1

且q(x)≥0(不恒等于零)，x∈G(a1,b1)∪G(a2,b2)；

(A2) 存在ci∈(ai,bi)，i= 1, 2，使得T≤a1

(4)

(5)

则方程(1) 是振动的。

2006年，Yang[9]在对双曲型偏微分方程的振动性的研究中，引入新的核函数H(r,s,l)，得到若干新的Kamenev型振动准则。受此工作及Philos[10], Kong[11]等工作的启发，本文定义如下函数集R。

定义1 令E0={(r,s,l):0≤a0≤l

(H1)H(r,r,l)=0；H(r,l,l)=0,r>l≥a0,且H(r,r,l)>0, (r,s,l)∈E0。

(H2)H(r,r,l) 在E对第二变元存在连续的偏导数且存在函数h∈C(E0,R)使得

定义2 令D= {(r,s):r≥s≥a0}，D0={(r,s):r>s>a0}，H1和H2∈C1(D,R)。 称函数对，如果存在h1和h2∈C1(D0,R)满足下列条件：

(H3)Hi(r,r) = 0,r≥a0且Hi(r,s)>0,∀(r,s)∈D0,i=1,2;

将上面定义的新型函数作为核函数，建立方程(1)的若干新的振动准则。这些振动准则比现有的结果具有更高的一般性，并能得到方程(1)的解的零点分布的一些信息。

1 主要结果

为方便起见, 我们引入如下记号

其中Sr={x∈RN:x=r},r>0，dσ表示RN中球面积分元，ω为RN中单位球面积。K为条件(C3)中的常数。

定理1 假设对任意的T≥a0, 存在T≤a1

(6)

如果存在H∈R 使得

(7)

对i= 1或i= 2成立。则方程(1) 是振动的。

证明若不然，不失一般性设方程(1)存在非平凡解y(x) 使得y(x)>0，x≥T≥a0。 定 义

(A▽y)(x),x∈G[T,+∞)

(8)

和

(9)

由方程(1) 及(8)式，可得

(10)

其中WT为W的转置。

对V(r)求导并利用Green公式得，得

(11)

再由(11)式及(9)式，得

(12)

由假设知，可选取a1,b1≥T，使得e(x)≤0，x∈I1=Ga1,b1(a10。 (若y(x)>0，则选取a2,b2≥T，使得e(x)≥0，x∈I2=G[a2,b2](a2

(13)

将(13)式的变量r改为s，并两边同乘以H(bi,s,ai)再从ai到bi(bi≥ai≥T) 积分得

(14)

即

这与假设(7)矛盾。定理1证毕。

在定理1中取H(r,s,l)=H1(r,s)H2(s,l)，其中(H1,H2)∈Ξ， 经简单的计算，可得如下结论。

定理2 假设对每个T≥a0，存在T≤a1

(15)

对i=1或i=2成立。则方程(1)是振动的。

在定理2中若取H1= (r-s)α，H2=(s-l)β,α,β>1， 则可得如下结论。

定理3 假设对每个T≥a0，存在T≤a11使得

(16)

对i=1或i=2成立。则方程(1) 是振动的。

定义

在定理2中取H1=[Λ(r)-Λ(s)]α，H2=[Λ(s)-Λ(l)]β， 其中α，β>1， 可得如下振动准则。

定理4 假设对每个T≥a0，存在T≤a11，使得

(17)

对i=1或i=2成立，则方程(1) 是振动的。

(18)

对i=1或i=2成立，则方程(1) 是振动的。

证明注意到

(19)

由(18)-(19)式，得

(20)

由(18)式，(20)式得

上式蕴含(17)式当α，β分别用2α和2代替时(17)式成立，从而由定理4知，方程(1) 是振动的，定理5证毕。

类似分析可得如下定理。

(21)

对i=1或i=2成立。则方程(1) 是振动的。

2 例子

例1 取η1>η2>0，则下面的非线性椭圆型微分方程

(22)

是振动的，如果

γ(-12π2-144π+576)-η1π3>0

取K=1，则

g(r) =ωλ(r)rN-1= 2πη1

对a2，b2类似可得

由定理3知方程(22) 是振动的。

注1 由于引入新的核函数H(r,s,l)，在特殊情况下该核函数可选取为Philos型振动准则的核函数的积H1(r,s)H2(s,l)，因而定理1-6 是新的。

参考文献：

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