一类广义超几何多项式零点的渐近分布

周建荣， 覃跃海， 刘赛玉,陈 剑

(1. 佛山科学技术学院理学院数学系，广东 佛山 528000；2. 广东第二师范学院数学系，广东 广州 510303；3. 湖南科技大学数学与计算科学学院，湖南 湘潭 411201)

近年来，关于广义超几何多项式零点渐近行为的研究引起了国内外许多专家学者的广泛兴趣和关注[1-3]。一般地，此类问题的研究通常有如下几种方法：①通过广义超几何多项式与经典正交多项式(如Jacobi)的联系，可以获得其零点位置及其渐近分布等重要信息[4]。②利用经典的复分析方法直接研究超几何多项式零点的渐近行为[5-6]。③从超几何函数所满足的欧拉积分替换出发，应用鞍点法或最速下降法导出其零点的渐近性质[7-10]。

本文采用经典的系数分析方法，对超几何函数级数展开式中的系数进行分析，探讨了一类广义超几何多项式：q + 1Fq(-n,n+a1,…,n+aq-1,aq;n+b1,…,n+bq-1,-n+bq;z) 零点的渐近行为。进一步借助于Enestrom-Kakeya 定理，得到了其零点沿不同方向渐近趋于单位圆周的充分条件。

1 广义超几何函数

广义超几何函数的定义如下：

(1)

其中

(ν)k=ν(ν+1)(ν+2)···(ν+k-1)=

是Pochhammer符号。

当a1,…,ap中有一个为负整数时，不妨设a1=-n，此时(1)中的级数退化为一个n次多项式，该多项式被称为广义超几何多项式。

2 主要定理

为了方便起见，记

(2)

引理1 若a1,…aq-1，b1,…,bq-1∈R，bq∈R{0,1,…} 并且aq∈R{0,-1,-2,…}， 则有

|an,k|≤m0(k+1)|bq|+|a1-b1|+…+|aq-1-bq-1|+|1-aq|，

(0≤k≤n；n,k∈{0,1,…})

(3)

(0≤k≤n；n,k∈{0,1,…})

(4)

证明当 0

可得

(5)

注意到

和

可知

和

从而有

m+C[ln(k+1)+γ]

(6)

其中m(>0)和C=|bq|+|a1-b1|+…+|aq-1-bq-1|+|1-aq|均为常数，并且γ为欧拉常数。由(6)式可得 |an,k|≤m0(k+1)|bq|+|a1-b1|+…+|aq-1-bq-1|+|1-aq|, (0≤k≤n；n,k∈N)， 其中常数m0>0 并且依赖于参数a1,…,aq和b1,…,bq， 但是不依赖于n和k。当k=0或k=n时，引理1中的(3)式显然成立。

接下来，在(5)式中用n-k替代k可得

可得

从而有

m+C[ln(k+2)+γ]

(7)

其中m(>0)和C=|bq|+|a1-b1|+…+|aq-1-bq-1|+|1-aq|均为常数，并且γ为欧拉常数。由(7)式可得

定理1 对于给定的参数a1,…,aq,b1,…,bq，若a1,…,aq-1,b1,…,bq-1∈R，bq∈R{0,1,…} 并且aq∈R{0,-1,-2,…}，则当n→∞时，广义超几何多项式：

的所有零点均渐近趋于单位圆周z=1。

引理2 (Enestrom-Kakeya Theorem[13, p.136]) 若0

定理2 对于给定的参数a1,…,aq和b1,…,bq，若0

的所有零点均落在单位圆盘z≤1外，并且趋近于单位圆周z=1。

证明由定理1知，我们仅需证明广义超几何多项式

F(z): =

所有的零点均落在单位圆盘z≤1外。从(2)式可得

当0

(k=0,…,n-1)，

从而，多项式

定理3 对于给定的参数a1,…,aq和b1,…,bq，若aq≥1，0

的所有零点均落在单位圆盘z≤1内，并且趋近于单位圆周z=1。

证明由定理1知，仅需证明广义超几何多项式

所有的零点均落在单位圆盘z≤1内。当aq≥1，0

(k=0,…,n-1)

从而，多项式F(z)的系数均为正数且单调递增，即有0

参考文献：

[1] DRIVER K, JORDAAN K. Separation theorems for the zeros of certain hypergeometric polynomials [J]. J Comput Appl Math, 2007, 199: 48-55.

[2] DRIVER K, JORDAAN K. Pólya frequency sequences and real zeros of some3F2polynomials [J]. J Math Anal Appl, 2007, 332: 1045-1055.

[3] SRIVASTAVA H M, ZHOU J R, WANG Z G. Asymptotic distributions of the zeros of certain classes of hypergeometric functions and polynomials [J]. Mathematics of Computation, 2011, 80(275):1769-1784.

[4] DRIVER K, DUREN P. Zeros of the hypergeometric polynomialsF(-n,b;2b;z) [J]. Indag Math:New Ser, 2000, 11: 43-51.

[5] DRIVER K, MÖLLER M. Zeros of the hypergeometric polynomialsF(-n,b;-2n;z)[J]. J Approx Theory, 2001, 110: 74-87.

[6] ZHOU J R, SRIVASTAVA H M，WANG Z G. Asymptotic distributions of the zeros of a family of hypergeometric polynomials [J]. Proceeding of American Mathematical Society, 2012, 140(7): 2333-2346.

[7] BOGGS K, DUREN P. Zeros of hypergeometric functions [J]. Comput Methods Funct Theory, 2001, 1: 275-287.

[8] DUREN P, GUILLOU B J. Asymptotic properties of zeros of hypergeometric polynomials [J]. J Approx Theory, 2001, 111: 329-343.

[9] ZHOU J R, ZHOU Y Q. Asymptotic distributions of the zeros of certain classes of Gauss hypergeometric polynomials [J]. Applied Mathematics and Computation, 2011, 218: 1153-1159.

[10] ZHOU J R, HUANG M H, WANG H Y. 两类高斯超几何多项式零点的渐近分布[J]. 中山大学学报: 自然科学版, 2011, 50(2): 28-30.

[11] HILLE E. Analytic function theory [M]. New York: Chelsea Publishing Company, 1973.

[12] DRIVER K, JORDAAN K. Asymptotic zero distribution of3F2polynomials [J]. Indag Math:New Ser, 2003, 14: 319-327.

[13] MARDEN M. Geometry of Polynomials [M]. American Mathematical Society, Providence，Rhode Island, 1996.